ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम
pV = nRT
गैस नियतांक
R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम
p1V1/T1 = p2V2/T2
मोल
n = m/M
तापमान
T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा
Q = ṁ·cp·ΔT
गुप्त ऊष्मा
Q = ṁ·hfg
मिश्रण
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
पानी
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता
η = W/QH = 1 − QC/QH
कार्नो दक्षता
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP
COPR = QC/W
हीट पंप का COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
ऊर्जा संतुलन
QH = W + QC

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात
T2/T1 = rk−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात
T2/T1 = rp(k−1)/k
ऑटो दक्षता
η = 1 − 1/rk−1
डीज़ल दक्षता
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ब्रेटन दक्षता
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
दी गई ऊष्मा
ऑटो: cv(T3 − T2) डीज़ल, ब्रेटन: cp(T3 − T2)
ब्रेटन शुद्ध कार्य
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
ठंडी वायु
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम
He का 190 gV = 30 LT = 15 °CP = ?

30 L की टंकी में 15 °C पर He का 190 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 190 gM = 4.003 g/molV = 30 LT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.आदर्श गैस नियमकठिन
अवस्था 1अवस्था 2

CO₂ की एक निश्चित मात्रा 300 kPa, 10 L, 15 °C से 500 kPa और 200 °C पर जाती है। नया आयतन V2 ज्ञात कीजिए।

P1 = 300 kPaV1 = 10 LT1 = 15 °CP2 = 500 kPaT2 = 200 °C
V2 = L
3.ऊर्जा संतुलनमध्यम
गर्म पक्षठंडा पक्षग्लाइकॉल मिश्रण · 150 °C90 °Cपानी · 15 °Ct = ? °C

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान tout ज्ञात कीजिए।

ṁh = 3 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 150 → 90 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.ऊर्जा संतुलनकठिन
गर्म पक्षठंडा पक्षहल्का तेल · 130 °C80 °Cपानी · 20 °C70 °C · ṁ = ?10% हानि

गर्म हल्का तेल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 10% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁc ज्ञात कीजिए।

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 130 → 80 °Ct: 20 → 70 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 10 %
ṁc = kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम
TH​ = 900 °CTL​ = 20 °CEQH​QL​η = 38%

एक ऊष्मा इंजन 900 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 20 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 38% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता ηII, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

TH = 900 °CTL = 20 °Cη = 38%
ηII = %
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन
800 °CTm​ = ?20 °CABWA​WB​

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 800 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान Tm वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 20 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजनों की तापीय दक्षता समान है। Tm को °C में ज्ञात कीजिए।

TH = 800 °CTL = 20 °C
Tm = °C
7.गैस शक्ति चक्रमध्यम
vP1234qin​qout​

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 18 और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ = 2.5 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 310 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु दी गई ऊष्मा qin kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r = 18rc = 2.5T1 = 310 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.गैस शक्ति चक्रकठिन
vP1234qin​qout​

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 18 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 310 K पर संपीडक में और 1400 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। दोनों मशीनें समएन्ट्रॉपिक हैं। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत wnet kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

rp = 18T1 = 310 KT3 = 1400 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 3790 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 190/4.003 = 47.46 mol
T = 15 + 273.15 = 288.1 K

दाब

P = nRT/V = 47.46·8.314·288.1/0.03 = 3790 kPa

उत्तर

P = 3790 kPa
2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V2 = 9.852 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P1V1/T1 = P2V2/T2।

परम तापमान

T1 = 288.1 K, T2 = 473.1 K

संयुक्त गैस नियम

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(300/500)·(473.1/288.1) = 9.852 L

उत्तर

V2 = 9.852 L
3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: tout = 92.51 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 3·3.6·(150 − 90) = 648 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 648/(2·4.18) = 92.51 °C

उत्तर

tout = 92.51 °C
4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁc = 1.13 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Qh = 2.5·2.1·(130 − 80) = 262.5 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Qc = (1 − 0.1)·262.5 = 236.3 kW

पानी प्रवाह दर

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 236.3/(4.18·50) = 1.13 kg/s

उत्तर

ṁc = 1.13 kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: ηII = 50.66 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 900 + 273.15 = 1173 K
TL = 20 + 273.15 = 293.1 K

कार्नो दक्षता

ηCarnot = 1 − 293.1/1173 = 75.01 %

द्वितीय-नियम दक्षता

ηII = η/ηCarnot = 38/75.01 = 50.66 %

उत्तर

ηII = 50.66 %
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Tm = 287.7 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 800 + 273.15 = 1073 K
TL = 20 + 273.15 = 293.1 K

समान दक्षताएँ

1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm से Tm² = TH·TL मिलता है।

Tm = √(1073·293.1) = 560.9 K = 287.7 °C

उत्तर

Tm = 287.7 °C
7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: qin = 1485 kJ/kg

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))।

तापमान

T2 = 310·180.4 = 985.1 K
T3 = 2.5·985.1 = 2463 K

नियत दाब पर दी गई ऊष्मा

qin = 1.005·(2463 − 985.1) = 1485 kJ/kg

उत्तर

qin = 1485 kJ/kg
8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: wnet = 391 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात rp = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k और η = 1 − 1/rp(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को ws/ηc चाहिए और टरबाइन ηt·ws देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T2 = 310·180.2857 = 708 K
T4 = 1400/180.2857 = 613 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

wc = 1.005·(708 − 310) = 400 kJ/kg
wt = 1.005·(1400 − 613) = 790.9 kJ/kg

शुद्ध कार्य

wnet = 790.9 − 400 = 391 kJ/kg

उत्तर

wnet = 391 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: wc/wt = 50.57%।

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