ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा: Q = ṁ·c_p·ΔT
गुप्त ऊष्मा: Q = ṁ·h_fg
मिश्रण: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
पानी: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम

10 L की टंकी में 0 °C पर O₂ का 200 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 200 gM = 32 g/molV = 10 LT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.आदर्श गैस नियमकठिन

100 kPa और 70 °C पर O₂ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 32 g/molP = 100 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.ऊर्जा संतुलनमध्यम

गर्म एथेनॉल बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान t_out ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 100 °Cṁ_c = 0.5 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.ऊर्जा संतुलनकठिन

गर्म एथेनॉल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 5% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁ_c ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Ct: 15 → 45 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 600 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 800 kJ ऊष्मा लेता है और 278 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान T_L °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 600 °CQ_H = 800 kJQ_L = 278 kJ

T_L = °C

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप 0 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 22 °C वाले तापन तंत्र को 15.5 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 50% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

T_H = 22 °CT_L = 0 °Cη_II = 50%Q̇_H = 15.5 kW

Ẇ = kW

7.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 19 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 2.2 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 300 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु दी गई ऊष्मा q_in kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r = 19r_c = 2.2T₁ = 300 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 18 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 295 K पर संपीडक में और 1300 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 85% और टरबाइन की 90% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 18T₁ = 295 KT₃ = 1300 Kη_c = 85%η_t = 90%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 1419 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 200/32 = 6.25 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

दाब

P = nRT/V = 6.25·8.314·273.1/0.01 = 1419 kPa

उत्तर

P = 1419 kPa

2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 1.122 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

घनत्व

ρ = 100·32/(8.314·343.1) = 1.122 kg/m³

उत्तर

ρ = 1.122 kg/m³

3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: t_out = 50.86 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 0.5·2.44·(170 − 100) = 85.4 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 85.4/(0.5·4.18) = 50.86 °C

उत्तर

t_out = 50.86 °C

4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁ_c = 1.109 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Q_h = 1·2.44·(130 − 70) = 146.4 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Q_c = (1 − 0.05)·146.4 = 139.1 kW

पानी प्रवाह दर

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 139.1/(4.18·30) = 1.109 kg/s

उत्तर

ṁ_c = 1.109 kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_L = 30.27 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

स्रोत का परम तापमान

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 873.1·278/800 = 303.4 K = 30.27 °C

उत्तर

T_L = 30.27 °C

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 2.311 kW

परम तापमान

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COP_max = 295.1/(295.1 − 273.1) = 13.42

COP = 0.5·13.42 = 6.708

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇_H/COP = 15.5/6.708 = 2.311 kW

उत्तर

Ẇ = 2.311 kW

7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: q_in = 1175 kJ/kg

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

तापमान

T₂ = 300·19^0.4 = 974.1 K

T₃ = 2.2·974.1 = 2143 K

नियत दाब पर दी गई ऊष्मा

q_in = 1.005·(2143 − 974.1) = 1175 kJ/kg

उत्तर

q_in = 1175 kJ/kg

8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 213.2 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T_2s = 295·18^0.2857 = 673.7 K

T_4s = 1300/18^0.2857 = 569.2 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(673.7 − 295)/0.85 = 447.8 kJ/kg

w_t = 0.9·1.005·(1300 − 569.2) = 661 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 661 − 447.8 = 213.2 kJ/kg

उत्तर

w_net = 213.2 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 67.74%।

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