ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम
pV = nRT
गैस नियतांक
R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम
p1V1/T1 = p2V2/T2
मोल
n = m/M
तापमान
T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा
Q = ṁ·cp·ΔT
गुप्त ऊष्मा
Q = ṁ·hfg
मिश्रण
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
पानी
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता
η = W/QH = 1 − QC/QH
कार्नो दक्षता
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP
COPR = QC/W
हीट पंप का COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
ऊर्जा संतुलन
QH = W + QC

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात
T2/T1 = rk−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात
T2/T1 = rp(k−1)/k
ऑटो दक्षता
η = 1 − 1/rk−1
डीज़ल दक्षता
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ब्रेटन दक्षता
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
दी गई ऊष्मा
ऑटो: cv(T3 − T2) डीज़ल, ब्रेटन: cp(T3 − T2)
ब्रेटन शुद्ध कार्य
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
ठंडी वायु
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम
O₂ का 350 gV = 30 LT = 0 °CP = ?

30 L की टंकी में 0 °C पर O₂ का 350 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 350 gM = 32 g/molV = 30 LT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.आदर्श गैस नियमकठिन
अवस्था 1अवस्था 2

CH₄ की एक निश्चित मात्रा 350 kPa, 20 L, 20 °C से 350 kPa और 60 °C पर जाती है। नया आयतन V2 ज्ञात कीजिए।

P1 = 350 kPaV1 = 20 LT1 = 20 °CP2 = 350 kPaT2 = 60 °C
V2 = L
3.ऊर्जा संतुलनमध्यम
गर्म पक्षठंडा पक्षहल्का तेल · 160 °C130 °Cपानी · 15 °Ct = ? °C

गर्म हल्का तेल बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान tout ज्ञात कीजिए।

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 130 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.ऊर्जा संतुलनकठिन
गर्म पक्षठंडा पक्षहल्का तेल · 140 °C70 °Cपानी · 20 °C70 °C · ṁ = ?5% हानि

गर्म हल्का तेल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 5% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁc ज्ञात कीजिए।

ṁh = 3 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Ct: 20 → 70 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 5 %
ṁc = kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम
TH​ = 425 °CTL​ = ?EQH​ = 2900 kJQL​ = 1301 kJW

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 425 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 2900 kJ ऊष्मा लेता है और 1301 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान TL °C में ज्ञात कीजिए।

TH = 425 °CQH = 2900 kJQL = 1301 kJ
TL = °C
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन
TH​ = 21 °CTL​ = -10 °CHPQ̇H​ = 6.5 kWQ̇L​Ẇ = ?

एक ऊष्मा पंप -10 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 21 °C वाले तापन तंत्र को 6.5 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 40% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

TH = 21 °CTL = -10 °CηII = 40%Q̇H = 6.5 kW
Ẇ = kW
7.गैस शक्ति चक्रमध्यम
vP1234qin​qout​

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 15 और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ = 1.5 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 295 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु दी गई ऊष्मा qin kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r = 15rc = 1.5T1 = 295 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.गैस शक्ति चक्रकठिन
vP1234qin​qout​

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 6 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 300 K पर संपीडक में और 1200 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 80% और टरबाइन की 92% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत wnet kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

rp = 6T1 = 300 KT3 = 1200 Kηc = 80%ηt = 92%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 828 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 350/32 = 10.94 mol
T = 0 + 273.15 = 273.1 K

दाब

P = nRT/V = 10.94·8.314·273.1/0.03 = 828 kPa

उत्तर

P = 828 kPa
2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V2 = 22.73 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P1V1/T1 = P2V2/T2।

परम तापमान

T1 = 293.1 K, T2 = 333.1 K

संयुक्त गैस नियम

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(350/350)·(333.1/293.1) = 22.73 L

उत्तर

V2 = 22.73 L
3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: tout = 27.56 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 2.5·2.1·(160 − 130) = 157.5 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 157.5/(3·4.18) = 27.56 °C

उत्तर

tout = 27.56 °C
4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁc = 2.005 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Qh = 3·2.1·(140 − 70) = 441 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Qc = (1 − 0.05)·441 = 419 kW

पानी प्रवाह दर

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 419/(4.18·50) = 2.005 kg/s

उत्तर

ṁc = 2.005 kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: TL = 40.05 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

स्रोत का परम तापमान

TH = 425 + 273.15 = 698.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

TL = TH·QL/QH = 698.1·1301/2900 = 313.2 K = 40.05 °C

उत्तर

TL = 40.05 °C
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 1.713 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 21 + 273.15 = 294.1 K
TL = -10 + 273.15 = 263.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COPmax = 294.1/(294.1 − 263.1) = 9.489
COP = 0.4·9.489 = 3.795

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇H/COP = 6.5/3.795 = 1.713 kW

उत्तर

Ẇ = 1.713 kW
7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: qin = 437.9 kJ/kg

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))।

तापमान

T2 = 295·150.4 = 871.5 K
T3 = 1.5·871.5 = 1307 K

नियत दाब पर दी गई ऊष्मा

qin = 1.005·(1307 − 871.5) = 437.9 kJ/kg

उत्तर

qin = 437.9 kJ/kg
8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: wnet = 192.6 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात rp = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k और η = 1 − 1/rp(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को ws/ηc चाहिए और टरबाइन ηt·ws देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T2s = 300·60.2857 = 500.6 K
T4s = 1200/60.2857 = 719.2 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

wc = 1.005·(500.6 − 300)/0.8 = 251.9 kJ/kg
wt = 0.92·1.005·(1200 − 719.2) = 444.5 kJ/kg

शुद्ध कार्य

wnet = 444.5 − 251.9 = 192.6 kJ/kg

उत्तर

wnet = 192.6 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: wc/wt = 56.67%।

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