ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा: Q = ṁ·c_p·ΔT
गुप्त ऊष्मा: Q = ṁ·h_fg
मिश्रण: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
पानी: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम

20 L की टंकी में 100 °C पर O₂ का 360 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 360 gM = 32 g/molV = 20 LT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.आदर्श गैस नियमकठिन

CO₂ की एक निश्चित मात्रा 250 kPa, 20 L, 35 °C से 100 kPa और 130 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 250 kPaV₁ = 20 LT₁ = 35 °CP₂ = 100 kPaT₂ = 130 °C

V₂ = L

3.ऊर्जा संतुलनमध्यम

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान t_out ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 80 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.ऊर्जा संतुलनकठिन

गर्म हल्का तेल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 15% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁ_c ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 90 °Ct: 30 → 60 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 900 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 30 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 56% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता η_II, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

T_H = 900 °CT_L = 30 °Cη = 56%

η_II = %

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा इंजन प्रति चक्र 500 °C वाले भंडार से 3900 kJ ऊष्मा लेता है, 1638 kJ कार्य उत्पन्न करता है और शेष को 35 °C वाले भंडार को त्यागता है। प्रति चक्र उत्पन्न कुल एन्ट्रॉपी S_gen ज्ञात कीजिए।

T_H = 500 °CT_L = 35 °CQ_H = 3900 kJW = 1638 kJ

S_gen = kJ/K

7.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 18 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 2.2 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 310 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T₃ K में ज्ञात कीजिए।

r = 18r_c = 2.2T₁ = 310 Kk = 1.4

T₃ = K

8.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 6 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 310 K पर संपीडक में और 1100 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 80% और टरबाइन की 90% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 6T₁ = 310 KT₃ = 1100 Kη_c = 80%η_t = 90%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 1745 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 360/32 = 11.25 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

दाब

P = nRT/V = 11.25·8.314·373.1/0.02 = 1745 kPa

उत्तर

P = 1745 kPa

2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 65.41 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 308.1 K, T₂ = 403.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(250/100)·(403.1/308.1) = 65.41 L

उत्तर

V₂ = 65.41 L

3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: t_out = 32.97 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 2·3.6·(120 − 80) = 288 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 288/(3·4.18) = 32.97 °C

उत्तर

t_out = 32.97 °C

4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁ_c = 2.278 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Q_h = 2·2.1·(170 − 90) = 336 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Q_c = (1 − 0.15)·336 = 285.6 kW

पानी प्रवाह दर

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 285.6/(4.18·30) = 2.278 kg/s

उत्तर

ṁ_c = 2.278 kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_II = 75.51 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 900 + 273.15 = 1173 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

कार्नो दक्षता

η_Carnot = 1 − 303.1/1173 = 74.16 %

द्वितीय-नियम दक्षता

η_II = η/η_Carnot = 56/74.16 = 75.51 %

उत्तर

η_II = 75.51 %

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: S_gen = 2.296 kJ/K

एन्ट्रॉपी उत्पादन: पूरे चक्र में कार्यकारी तरल का कोई नेट एन्ट्रॉपी परिवर्तन नहीं होता। गर्म भंडार Q_H/T_H खोता है और ठंडा भंडार Q_L/T_L पाता है। इनका योग उत्पन्न एन्ट्रॉपी है, जो उत्क्रमणीय चक्र के लिए शून्य और हर वास्तविक चक्र के लिए धनात्मक है।

त्यागी गई ऊष्मा

Q_L = Q_H − W = 3900 − 1638 = 2262 kJ

परम तापमान

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

भंडारों के एन्ट्रॉपी परिवर्तन

ΔS_H = −3900/773.1 = −5.044 kJ/K

ΔS_L = 2262/308.1 = 7.341 kJ/K

S_gen = 7.341 − 5.044 = 2.296 kJ/K

उत्तर

S_gen = 2.296 kJ/K

S_gen > 0, इसलिए इंजन संभव है पर अनुत्क्रमणीय है।

7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T₃ = 2167 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

संपीडन का अंत

T₂ = 310·18^0.4 = 985.1 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T₃ = r_c·T₂ = 2.2·985.1 = 2167 K

उत्तर

T₃ = 2167 K

8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 138.3 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T_2s = 310·6^0.2857 = 517.2 K

T_4s = 1100/6^0.2857 = 659.3 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(517.2 − 310)/0.8 = 260.3 kJ/kg

w_t = 0.9·1.005·(1100 − 659.3) = 398.6 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 398.6 − 260.3 = 138.3 kJ/kg

उत्तर

w_net = 138.3 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 65.31%।

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