ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा: Q = ṁ·c_p·ΔT
गुप्त ऊष्मा: Q = ṁ·h_fg
मिश्रण: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
पानी: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम

30 L की टंकी में 60 °C पर O₂ का 190 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 190 gM = 32 g/molV = 30 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.आदर्श गैस नियमकठिन

950 kPa और 90 °C पर Ar का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 39.95 g/molP = 950 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.ऊर्जा संतुलनमध्यम

गर्म एथेनॉल बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान t_out ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 60 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.ऊर्जा संतुलनकठिन

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 15% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁ_c ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 70 °Ct: 20 → 60 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 7.5 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को -25 °C पर रखता है, और 20 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = -25 °CT_H = 20 °CQ̇_L = 7.5 kW

Q̇_H = kW

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक रेफ़्रिजरेटर 32 °C वाली रसोई में अपने ठंडे भाग को 2 °C पर रखता है, ठंडे भाग से 4.5 kW ऊष्मा निकालते हुए। अधिकतम संभव निष्पादन गुणांक COP_max ज्ञात कीजिए।

T_H = 32 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 4.5 kW

COP_max =

7.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 19 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 2.2 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 295 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T₃ K में ज्ञात कीजिए।

r = 19r_c = 2.2T₁ = 295 Kk = 1.4

T₃ = K

8.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 8 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 310 K पर संपीडक में और 1300 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 88% और टरबाइन की 88% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 8T₁ = 310 KT₃ = 1300 Kη_c = 88%η_t = 88%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 548.2 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 190/32 = 5.938 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

दाब

P = nRT/V = 5.938·8.314·333.1/0.03 = 548.2 kPa

उत्तर

P = 548.2 kPa

2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 12.57 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

घनत्व

ρ = 950·39.95/(8.314·363.1) = 12.57 kg/m³

उत्तर

ρ = 12.57 kg/m³

3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: t_out = 47.51 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 1·2.44·(120 − 60) = 146.4 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 146.4/(2·4.18) = 47.51 °C

उत्तर

t_out = 47.51 °C

4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁ_c = 4.941 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Q_h = 3·3.6·(160 − 70) = 972 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Q_c = (1 − 0.15)·972 = 826.2 kW

पानी प्रवाह दर

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 826.2/(4.18·40) = 4.941 kg/s

उत्तर

ṁ_c = 4.941 kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 8.86 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 7.5·293.1/248.1 = 8.86 kW

उत्तर

Q̇_H = 8.86 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 1.36 kW।

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: COP_max = 9.172

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(305.1 − 275.1) = 9.172

उत्तर

COP_max = 9.172

7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T₃ = 2107 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

संपीडन का अंत

T₂ = 295·19^0.4 = 957.9 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T₃ = r_c·T₂ = 2.2·957.9 = 2107 K

उत्तर

T₃ = 2107 K

8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 227.7 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T_2s = 310·8^0.2857 = 561.5 K

T_4s = 1300/8^0.2857 = 717.7 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(561.5 − 310)/0.88 = 287.3 kJ/kg

w_t = 0.88·1.005·(1300 − 717.7) = 515 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 515 − 287.3 = 227.7 kJ/kg

उत्तर

w_net = 227.7 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 55.78%।

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