ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम
pV = nRT
गैस नियतांक
R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम
p1V1/T1 = p2V2/T2
मोल
n = m/M
तापमान
T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा
Q = ṁ·cp·ΔT
गुप्त ऊष्मा
Q = ṁ·hfg
मिश्रण
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
पानी
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता
η = W/QH = 1 − QC/QH
कार्नो दक्षता
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP
COPR = QC/W
हीट पंप का COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
ऊर्जा संतुलन
QH = W + QC

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात
T2/T1 = rk−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात
T2/T1 = rp(k−1)/k
ऑटो दक्षता
η = 1 − 1/rk−1
डीज़ल दक्षता
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ब्रेटन दक्षता
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
दी गई ऊष्मा
ऑटो: cv(T3 − T2) डीज़ल, ब्रेटन: cp(T3 − T2)
ब्रेटन शुद्ध कार्य
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
ठंडी वायु
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम
N₂ का 300 gV = 10 LT = 45 °CP = ?

10 L की टंकी में 45 °C पर N₂ का 300 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 300 gM = 28.01 g/molV = 10 LT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.आदर्श गैस नियमकठिन
अवस्था 1अवस्था 2

Ar की एक निश्चित मात्रा 200 kPa, 20 L, 15 °C से 800 kPa और 90 °C पर जाती है। नया आयतन V2 ज्ञात कीजिए।

P1 = 200 kPaV1 = 20 LT1 = 15 °CP2 = 800 kPaT2 = 90 °C
V2 = L
3.ऊर्जा संतुलनमध्यम
गर्म पक्षठंडा पक्षहल्का तेल · 120 °C70 °Cपानी · 10 °Ct = ? °C

गर्म हल्का तेल बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान tout ज्ञात कीजिए।

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 70 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.ऊर्जा संतुलनकठिन
गर्म पक्षठंडा पक्षहल्का तेल · 170 °C100 °Cपानी · 15 °C40 °C · ṁ = ?5% हानि

गर्म हल्का तेल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 5% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁc ज्ञात कीजिए।

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 170 → 100 °Ct: 15 → 40 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 5 %
ṁc = kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम
TH​ = 425 °CTL​ = ?EQH​ = 4400 kJQL​ = 1816 kJW

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 425 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 4400 kJ ऊष्मा लेता है और 1816 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान TL °C में ज्ञात कीजिए।

TH = 425 °CQH = 4400 kJQL = 1816 kJ
TL = °C
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन
500 °CTm​ = ?15 °CABWA​WB​

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 500 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान Tm वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 15 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजनों की तापीय दक्षता समान है। Tm को °C में ज्ञात कीजिए।

TH = 500 °CTL = 15 °C
Tm = °C
7.गैस शक्ति चक्रमध्यम
vP1234qin​qout​

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 18 और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ = 2.2 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 310 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T3 K में ज्ञात कीजिए।

r = 18rc = 2.2T1 = 310 Kk = 1.4
T3 = K
8.गैस शक्ति चक्रकठिन
vP1234qin​qout​

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 10 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 295 K पर संपीडक में और 1200 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 85% और टरबाइन की 85% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत wnet kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

rp = 10T1 = 295 KT3 = 1200 Kηc = 85%ηt = 85%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 2833 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 300/28.01 = 10.71 mol
T = 45 + 273.15 = 318.1 K

दाब

P = nRT/V = 10.71·8.314·318.1/0.01 = 2833 kPa

उत्तर

P = 2833 kPa
2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V2 = 6.301 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P1V1/T1 = P2V2/T2।

परम तापमान

T1 = 288.1 K, T2 = 363.1 K

संयुक्त गैस नियम

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(200/800)·(363.1/288.1) = 6.301 L

उत्तर

V2 = 6.301 L
3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: tout = 22.56 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 0.5·2.1·(120 − 70) = 52.5 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 52.5/(1·4.18) = 22.56 °C

उत्तर

tout = 22.56 °C
4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁc = 1.336 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Qh = 1·2.1·(170 − 100) = 147 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Qc = (1 − 0.05)·147 = 139.7 kW

पानी प्रवाह दर

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 139.7/(4.18·25) = 1.336 kg/s

उत्तर

ṁc = 1.336 kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: TL = 15 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

स्रोत का परम तापमान

TH = 425 + 273.15 = 698.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

TL = TH·QL/QH = 698.1·1816/4400 = 288.1 K = 15 °C

उत्तर

TL = 15 °C
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Tm = 198.8 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 500 + 273.15 = 773.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

समान दक्षताएँ

1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm से Tm² = TH·TL मिलता है।

Tm = √(773.1·288.1) = 472 K = 198.8 °C

उत्तर

Tm = 198.8 °C
7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T3 = 2167 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))।

संपीडन का अंत

T2 = 310·180.4 = 985.1 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T3 = rc·T2 = 2.2·985.1 = 2167 K

उत्तर

T3 = 2167 K
8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: wnet = 169.5 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात rp = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k और η = 1 − 1/rp(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को ws/ηc चाहिए और टरबाइन ηt·ws देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T2s = 295·100.2857 = 569.6 K
T4s = 1200/100.2857 = 621.5 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

wc = 1.005·(569.6 − 295)/0.85 = 324.6 kJ/kg
wt = 0.85·1.005·(1200 − 621.5) = 494.2 kJ/kg

शुद्ध कार्य

wnet = 494.2 − 324.6 = 169.5 kJ/kg

उत्तर

wnet = 169.5 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: wc/wt = 65.69%।

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