ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा: Q = ṁ·c_p·ΔT
गुप्त ऊष्मा: Q = ṁ·h_fg
मिश्रण: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
पानी: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम

10 L की टंकी में 70 °C पर N₂ का 280 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 280 gM = 28.01 g/molV = 10 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.आदर्श गैस नियमकठिन

250 kPa और 190 °C पर Ar का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 39.95 g/molP = 250 kPaT = 190 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.ऊर्जा संतुलनमध्यम

गर्म एथेनॉल बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान t_out ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 1.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 140 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.ऊर्जा संतुलनकठिन

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 15% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁ_c ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Ct: 30 → 60 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 700 °C पर गर्म भंडार और 10 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 2300 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य W_max उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

T_H = 700 °CT_L = 10 °CQ_H = 2300 kJ

W_max = kJ

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा इंजन प्रति चक्र 850 °C वाले भंडार से 2100 kJ ऊष्मा लेता है, 945 kJ कार्य उत्पन्न करता है और शेष को 15 °C वाले भंडार को त्यागता है। प्रति चक्र उत्पन्न कुल एन्ट्रॉपी S_gen ज्ञात कीजिए।

T_H = 850 °CT_L = 15 °CQ_H = 2100 kJW = 945 kJ

S_gen = kJ/K

7.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 14 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 1.8 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 320 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T₃ K में ज्ञात कीजिए।

r = 14r_c = 1.8T₁ = 320 Kk = 1.4

T₃ = K

8.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक आदर्श ब्रेटन चक्र 15 के संपीडक दाब अनुपात पर चलता है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r_p = 15k = 1.4

η = %

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 2852 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 280/28.01 = 9.996 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

दाब

P = nRT/V = 9.996·8.314·343.1/0.01 = 2852 kPa

उत्तर

P = 2852 kPa

2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 2.594 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 190 + 273.15 = 463.1 K

घनत्व

ρ = 250·39.95/(8.314·463.1) = 2.594 kg/m³

उत्तर

ρ = 2.594 kg/m³

3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: t_out = 41.27 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 1.5·2.44·(170 − 140) = 109.8 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 109.8/(1·4.18) = 41.27 °C

उत्तर

t_out = 41.27 °C

4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁ_c = 0.7321 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Q_h = 1·3.6·(130 − 100) = 108 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Q_c = (1 − 0.15)·108 = 91.8 kW

पानी प्रवाह दर

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 91.8/(4.18·30) = 0.7321 kg/s

उत्तर

ṁ_c = 0.7321 kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: W_max = 1631 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/973.1 = 70.9 %

अधिकतम कार्य

W_max = η_max·Q_H = 0.709·2300 = 1631 kJ

उत्तर

W_max = 1631 kJ

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: S_gen = 2.139 kJ/K

एन्ट्रॉपी उत्पादन: पूरे चक्र में कार्यकारी तरल का कोई नेट एन्ट्रॉपी परिवर्तन नहीं होता। गर्म भंडार Q_H/T_H खोता है और ठंडा भंडार Q_L/T_L पाता है। इनका योग उत्पन्न एन्ट्रॉपी है, जो उत्क्रमणीय चक्र के लिए शून्य और हर वास्तविक चक्र के लिए धनात्मक है।

त्यागी गई ऊष्मा

Q_L = Q_H − W = 2100 − 945 = 1155 kJ

परम तापमान

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

भंडारों के एन्ट्रॉपी परिवर्तन

ΔS_H = −2100/1123 = −1.87 kJ/K

ΔS_L = 1155/288.1 = 4.008 kJ/K

S_gen = 4.008 − 1.87 = 2.139 kJ/K

उत्तर

S_gen = 2.139 kJ/K

S_gen > 0, इसलिए इंजन संभव है पर अनुत्क्रमणीय है।

7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T₃ = 1655 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

संपीडन का अंत

T₂ = 320·14^0.4 = 919.6 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T₃ = r_c·T₂ = 1.8·919.6 = 1655 K

उत्तर

T₃ = 1655 K

8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 53.87 %

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

तापीय दक्षता

η = 1 − 1/15^0.2857 = 1 − 1/2.168 = 53.87%

उत्तर

η = 53.87%

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