ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम
pV = nRT
गैस नियतांक
R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम
p1V1/T1 = p2V2/T2
मोल
n = m/M
तापमान
T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा
Q = ṁ·cp·ΔT
गुप्त ऊष्मा
Q = ṁ·hfg
मिश्रण
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
पानी
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता
η = W/QH = 1 − QC/QH
कार्नो दक्षता
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP
COPR = QC/W
हीट पंप का COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
ऊर्जा संतुलन
QH = W + QC

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात
T2/T1 = rk−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात
T2/T1 = rp(k−1)/k
ऑटो दक्षता
η = 1 − 1/rk−1
डीज़ल दक्षता
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ब्रेटन दक्षता
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
दी गई ऊष्मा
ऑटो: cv(T3 − T2) डीज़ल, ब्रेटन: cp(T3 − T2)
ब्रेटन शुद्ध कार्य
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
ठंडी वायु
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम
O₂ का 90 gP = 500 kPaT = 90 °CV = ?

500 kPa और 90 °C पर O₂ का 90 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 90 gM = 32 g/molP = 500 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.आदर्श गैस नियमकठिन
अवस्था 1अवस्था 2

He की एक निश्चित मात्रा 100 kPa, 20 L, 30 °C से 250 kPa और 240 °C पर जाती है। नया आयतन V2 ज्ञात कीजिए।

P1 = 100 kPaV1 = 20 LT1 = 30 °CP2 = 250 kPaT2 = 240 °C
V2 = L
3.ऊर्जा संतुलनमध्यम
गर्म पक्षठंडा पक्षहल्का तेल · 140 °C80 °Cपानी · 30 °Ct = ? °C

गर्म हल्का तेल बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान tout ज्ञात कीजिए।

ṁh = 3 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 80 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.ऊर्जा संतुलनकठिन
गर्म पक्षठंडा पक्षहल्का तेल · 180 °C150 °Cपानी · 20 °C80 °C · ṁ = ?5% हानि

गर्म हल्का तेल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 5% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁc ज्ञात कीजिए।

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 180 → 150 °Ct: 20 → 80 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 5 %
ṁc = kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम
TH​ = 35 °CTL​ = -18 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 9 kWẆ

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 9 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को -18 °C पर रखता है, और 35 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

TL = -18 °CTH = 35 °CQ̇L = 9 kW
Q̇H = kW
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन
1150 °CTm​ = ?20 °CABWA​WB​

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 1150 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान Tm वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 20 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजनों की तापीय दक्षता समान है। Tm को °C में ज्ञात कीजिए।

TH = 1150 °CTL = 20 °C
Tm = °C
7.गैस शक्ति चक्रमध्यम
vP1234qin​qout​

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 14 और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ = 1.5 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 310 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T3 K में ज्ञात कीजिए।

r = 14rc = 1.5T1 = 310 Kk = 1.4
T3 = K
8.गैस शक्ति चक्रकठिन
vP1234qin​qout​

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 10 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 290 K पर संपीडक में और 1100 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 80% और टरबाइन की 90% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत wnet kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

rp = 10T1 = 290 KT3 = 1100 Kηc = 80%ηt = 90%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 16.98 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 90/32 = 2.813 mol
T = 90 + 273.15 = 363.1 K

आयतन

V = nRT/P = 2.813·8.314·363.1/500 = 16.98 L

उत्तर

V = 16.98 L
2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V2 = 13.54 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P1V1/T1 = P2V2/T2।

परम तापमान

T1 = 303.1 K, T2 = 513.1 K

संयुक्त गैस नियम

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(100/250)·(513.1/303.1) = 13.54 L

उत्तर

V2 = 13.54 L
3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: tout = 60.14 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 3·2.1·(140 − 80) = 378 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 378/(3·4.18) = 60.14 °C

उत्तर

tout = 60.14 °C
4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁc = 0.2386 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Qh = 1·2.1·(180 − 150) = 63 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Qc = (1 − 0.05)·63 = 59.85 kW

पानी प्रवाह दर

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 59.85/(4.18·60) = 0.2386 kg/s

उत्तर

ṁc = 0.2386 kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇H = 10.87 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 35 + 273.15 = 308.1 K
TL = -18 + 273.15 = 255.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 9·308.1/255.1 = 10.87 kW

उत्तर

Q̇H = 10.87 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 1.869 kW।

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Tm = 372.8 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 1150 + 273.15 = 1423 K
TL = 20 + 273.15 = 293.1 K

समान दक्षताएँ

1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm से Tm² = TH·TL मिलता है।

Tm = √(1423·293.1) = 645.9 K = 372.8 °C

उत्तर

Tm = 372.8 °C
7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T3 = 1336 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))।

संपीडन का अंत

T2 = 310·140.4 = 890.9 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T3 = rc·T2 = 1.5·890.9 = 1336 K

उत्तर

T3 = 1336 K
8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: wnet = 140.6 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात rp = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k और η = 1 − 1/rp(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को ws/ηc चाहिए और टरबाइन ηt·ws देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T2s = 290·100.2857 = 559.9 K
T4s = 1100/100.2857 = 569.7 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

wc = 1.005·(559.9 − 290)/0.8 = 339.1 kJ/kg
wt = 0.9·1.005·(1100 − 569.7) = 479.6 kJ/kg

शुद्ध कार्य

wnet = 479.6 − 339.1 = 140.6 kJ/kg

उत्तर

wnet = 140.6 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: wc/wt = 70.69%।

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