ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम
pV = nRT
गैस नियतांक
R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम
p1V1/T1 = p2V2/T2
मोल
n = m/M
तापमान
T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा
Q = ṁ·cp·ΔT
गुप्त ऊष्मा
Q = ṁ·hfg
मिश्रण
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
पानी
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता
η = W/QH = 1 − QC/QH
कार्नो दक्षता
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP
COPR = QC/W
हीट पंप का COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
ऊर्जा संतुलन
QH = W + QC

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात
T2/T1 = rk−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात
T2/T1 = rp(k−1)/k
ऑटो दक्षता
η = 1 − 1/rk−1
डीज़ल दक्षता
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ब्रेटन दक्षता
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
दी गई ऊष्मा
ऑटो: cv(T3 − T2) डीज़ल, ब्रेटन: cp(T3 − T2)
ब्रेटन शुद्ध कार्य
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
ठंडी वायु
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम
O₂ का 190 gP = 100 kPaT = 85 °CV = ?

100 kPa और 85 °C पर O₂ का 190 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 190 gM = 32 g/molP = 100 kPaT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.आदर्श गैस नियमकठिन
अवस्था 1अवस्था 2

He की एक निश्चित मात्रा 300 kPa, 2 L, 20 °C से 500 kPa और 130 °C पर जाती है। नया आयतन V2 ज्ञात कीजिए।

P1 = 300 kPaV1 = 2 LT1 = 20 °CP2 = 500 kPaT2 = 130 °C
V2 = L
3.ऊर्जा संतुलनमध्यम
गर्म पक्षठंडा पक्षहल्का तेल · 140 °C100 °Cपानी · 25 °Ct = ? °C

गर्म हल्का तेल बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान tout ज्ञात कीजिए।

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 100 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.ऊर्जा संतुलनकठिन
गर्म पक्षठंडा पक्षग्लाइकॉल मिश्रण · 120 °C80 °Cपानी · 10 °C80 °C · ṁ = ?15% हानि

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 15% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁc ज्ञात कीजिए।

ṁh = 1 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 80 °Ct: 10 → 80 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 15 %
ṁc = kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम
TH​ = 300 °CTL​ = 10 °CEQH​QL​η = 38%

एक ऊष्मा इंजन 300 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 10 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 38% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता ηII, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

TH = 300 °CTL = 10 °Cη = 38%
ηII = %
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन
1150 °CTm​ = ?25 °CABWA​WB​

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 1150 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान Tm वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 25 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजनों की तापीय दक्षता समान है। Tm को °C में ज्ञात कीजिए।

TH = 1150 °CTL = 25 °C
Tm = °C
7.गैस शक्ति चक्रमध्यम
vP1234qin​qout​

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 20 और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ = 1.5 है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r = 20rc = 1.5k = 1.4
η = %
8.गैस शक्ति चक्रकठिन
vP1234qin​qout​

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 18 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 295 K पर संपीडक में और 1500 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। दोनों मशीनें समएन्ट्रॉपिक हैं। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत wnet kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

rp = 18T1 = 295 KT3 = 1500 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 176.8 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 190/32 = 5.938 mol
T = 85 + 273.15 = 358.1 K

आयतन

V = nRT/P = 5.938·8.314·358.1/100 = 176.8 L

उत्तर

V = 176.8 L
2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V2 = 1.65 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P1V1/T1 = P2V2/T2।

परम तापमान

T1 = 293.1 K, T2 = 403.1 K

संयुक्त गैस नियम

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(300/500)·(403.1/293.1) = 1.65 L

उत्तर

V2 = 1.65 L
3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: tout = 75.24 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 2.5·2.1·(140 − 100) = 210 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 210/(1·4.18) = 75.24 °C

उत्तर

tout = 75.24 °C
4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁc = 0.4183 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Qh = 1·3.6·(120 − 80) = 144 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Qc = (1 − 0.15)·144 = 122.4 kW

पानी प्रवाह दर

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 122.4/(4.18·70) = 0.4183 kg/s

उत्तर

ṁc = 0.4183 kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: ηII = 75.1 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 300 + 273.15 = 573.1 K
TL = 10 + 273.15 = 283.1 K

कार्नो दक्षता

ηCarnot = 1 − 283.1/573.1 = 50.6 %

द्वितीय-नियम दक्षता

ηII = η/ηCarnot = 38/50.6 = 75.1 %

उत्तर

ηII = 75.1 %
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Tm = 378.2 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 1150 + 273.15 = 1423 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

समान दक्षताएँ

1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm से Tm² = TH·TL मिलता है।

Tm = √(1423·298.1) = 651.4 K = 378.2 °C

उत्तर

Tm = 378.2 °C
7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 67.07 %

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))।

कटऑफ़ पद

(1.51.4 − 1)/(1.4·(1.5 − 1)) = 1.092

तापीय दक्षता

η = 1 − 0.3017·1.092 = 67.07%

उत्तर

η = 67.07%
8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: wnet = 466.8 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात rp = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k और η = 1 − 1/rp(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को ws/ηc चाहिए और टरबाइन ηt·ws देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T2 = 295·180.2857 = 673.7 K
T4 = 1500/180.2857 = 656.8 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

wc = 1.005·(673.7 − 295) = 380.6 kJ/kg
wt = 1.005·(1500 − 656.8) = 847.4 kJ/kg

शुद्ध कार्य

wnet = 847.4 − 380.6 = 466.8 kJ/kg

उत्तर

wnet = 466.8 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: wc/wt = 44.91%।

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