ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा: Q = ṁ·c_p·ΔT
गुप्त ऊष्मा: Q = ṁ·h_fg
मिश्रण: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
पानी: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम

500 kPa और 55 °C पर Ar का 180 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 180 gM = 39.95 g/molP = 500 kPaT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

2.आदर्श गैस नियमकठिन

Ar की एक निश्चित मात्रा 400 kPa, 5 L, 40 °C से 550 kPa और 200 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 400 kPaV₁ = 5 LT₁ = 40 °CP₂ = 550 kPaT₂ = 200 °C

V₂ = L

3.ऊर्जा संतुलनमध्यम

गर्म हल्का तेल बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान t_out ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 2.5 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Cṁ_c = 0.5 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.ऊर्जा संतुलनकठिन

गर्म एथेनॉल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 10% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁ_c ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 120 °Ct: 10 → 25 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 3 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को -18 °C पर रखता है, और 35 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = -18 °CT_H = 35 °CQ̇_L = 3 kW

Q̇_H = kW

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक रेफ़्रिजरेटर 25 °C वाली रसोई में अपने ठंडे भाग को -10 °C पर रखता है, ठंडे भाग से 1.5 kW ऊष्मा निकालते हुए। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 25 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 1.5 kW

Ẇ_min = kW

7.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 16 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 1.8 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 305 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु दी गई ऊष्मा q_in kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r = 16r_c = 1.8T₁ = 305 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 6 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 310 K पर संपीडक में और 1400 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। दोनों मशीनें समएन्ट्रॉपिक हैं। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 6T₁ = 310 KT₃ = 1400 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 24.58 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 180/39.95 = 4.506 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

आयतन

V = nRT/P = 4.506·8.314·328.1/500 = 24.58 L

उत्तर

V = 24.58 L

2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 5.494 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 313.1 K, T₂ = 473.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(400/550)·(473.1/313.1) = 5.494 L

उत्तर

V₂ = 5.494 L

3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: t_out = 95.36 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 2.5·2.1·(130 − 100) = 157.5 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 157.5/(0.5·4.18) = 95.36 °C

उत्तर

t_out = 95.36 °C

4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁ_c = 2.101 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Q_h = 2·2.44·(150 − 120) = 146.4 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Q_c = (1 − 0.1)·146.4 = 131.8 kW

पानी प्रवाह दर

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 131.8/(4.18·15) = 2.101 kg/s

उत्तर

ṁ_c = 2.101 kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 3.623 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 3·308.1/255.1 = 3.623 kW

उत्तर

Q̇_H = 3.623 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 0.6232 kW।

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.1995 kW

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263.1/(298.1 − 263.1) = 7.519

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1.5/7.519 = 0.1995 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.1995 kW

7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: q_in = 743.4 kJ/kg

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

तापमान

T₂ = 305·16^0.4 = 924.6 K

T₃ = 1.8·924.6 = 1664 K

नियत दाब पर दी गई ऊष्मा

q_in = 1.005·(1664 − 924.6) = 743.4 kJ/kg

उत्तर

q_in = 743.4 kJ/kg

8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 355.5 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T₂ = 310·6^0.2857 = 517.2 K

T₄ = 1400/6^0.2857 = 839.1 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(517.2 − 310) = 208.3 kJ/kg

w_t = 1.005·(1400 − 839.1) = 563.7 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 563.7 − 208.3 = 355.5 kJ/kg

उत्तर

w_net = 355.5 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 36.95%।

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