ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा: Q = ṁ·c_p·ΔT
गुप्त ऊष्मा: Q = ṁ·h_fg
मिश्रण: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
पानी: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम

50 L की टंकी में 10 °C पर O₂ का 250 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 250 gM = 32 g/molV = 50 LT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.आदर्श गैस नियमकठिन

CO₂ की एक निश्चित मात्रा 250 kPa, 10 L, 20 °C से 400 kPa और 60 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 250 kPaV₁ = 10 LT₁ = 20 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

3.ऊर्जा संतुलनमध्यम

गर्म एथेनॉल बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान t_out ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 1.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.ऊर्जा संतुलनकठिन

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 5% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁ_c ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 2.5 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 70 °Ct: 10 → 30 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 450 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 3900 kJ ऊष्मा लेता है और 1527 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान T_L °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 450 °CQ_H = 3900 kJQ_L = 1527 kJ

T_L = °C

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप -10 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 20 °C वाले तापन तंत्र को 11.5 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 55% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

T_H = 20 °CT_L = -10 °Cη_II = 55%Q̇_H = 11.5 kW

Ẇ = kW

7.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 22 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 2.2 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 305 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T₃ K में ज्ञात कीजिए।

r = 22r_c = 2.2T₁ = 305 Kk = 1.4

T₃ = K

8.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक आदर्श ब्रेटन चक्र 18 के संपीडक दाब अनुपात पर चलता है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r_p = 18k = 1.4

η = %

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 367.8 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 250/32 = 7.813 mol

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

दाब

P = nRT/V = 7.813·8.314·283.1/0.05 = 367.8 kPa

उत्तर

P = 367.8 kPa

2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 7.103 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 293.1 K, T₂ = 333.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(250/400)·(333.1/293.1) = 7.103 L

उत्तर

V₂ = 7.103 L

3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: t_out = 46.27 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 1.5·2.44·(130 − 70) = 219.6 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 219.6/(2·4.18) = 46.27 °C

उत्तर

t_out = 46.27 °C

4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁ_c = 7.159 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Q_h = 2.5·3.6·(140 − 70) = 630 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Q_c = (1 − 0.05)·630 = 598.5 kW

पानी प्रवाह दर

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 598.5/(4.18·20) = 7.159 kg/s

उत्तर

ṁ_c = 7.159 kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_L = 9.991 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

स्रोत का परम तापमान

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 723.1·1527/3900 = 283.1 K = 9.991 °C

उत्तर

T_L = 9.991 °C

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 2.14 kW

परम तापमान

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COP_max = 293.1/(293.1 − 263.1) = 9.772

COP = 0.55·9.772 = 5.374

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇_H/COP = 11.5/5.374 = 2.14 kW

उत्तर

Ẇ = 2.14 kW

7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T₃ = 2310 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

संपीडन का अंत

T₂ = 305·22^0.4 = 1050 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T₃ = r_c·T₂ = 2.2·1050 = 2310 K

उत्तर

T₃ = 2310 K

8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 56.21 %

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

तापीय दक्षता

η = 1 − 1/18^0.2857 = 1 − 1/2.284 = 56.21%

उत्तर

η = 56.21%

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