ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम
pV = nRT
गैस नियतांक
R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम
p1V1/T1 = p2V2/T2
मोल
n = m/M
तापमान
T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा
Q = ṁ·cp·ΔT
गुप्त ऊष्मा
Q = ṁ·hfg
मिश्रण
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
पानी
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता
η = W/QH = 1 − QC/QH
कार्नो दक्षता
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP
COPR = QC/W
हीट पंप का COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
ऊर्जा संतुलन
QH = W + QC

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात
T2/T1 = rk−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात
T2/T1 = rp(k−1)/k
ऑटो दक्षता
η = 1 − 1/rk−1
डीज़ल दक्षता
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ब्रेटन दक्षता
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
दी गई ऊष्मा
ऑटो: cv(T3 − T2) डीज़ल, ब्रेटन: cp(T3 − T2)
ब्रेटन शुद्ध कार्य
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
ठंडी वायु
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम
He का 120 gP = 300 kPaT = 100 °CV = ?

300 kPa और 100 °C पर He का 120 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 120 gM = 4.003 g/molP = 300 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.आदर्श गैस नियमकठिन
अवस्था 1अवस्था 2

CO₂ की एक निश्चित मात्रा 150 kPa, 10 L, 35 °C से 550 kPa और 60 °C पर जाती है। नया आयतन V2 ज्ञात कीजिए।

P1 = 150 kPaV1 = 10 LT1 = 35 °CP2 = 550 kPaT2 = 60 °C
V2 = L
3.ऊर्जा संतुलनमध्यम
गर्म पक्षठंडा पक्षग्लाइकॉल मिश्रण · 150 °C80 °Cपानी · 25 °Ct = ? °C

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान tout ज्ञात कीजिए।

ṁh = 1 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 150 → 80 °Cṁc = 0.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.ऊर्जा संतुलनकठिन
गर्म पक्षठंडा पक्षग्लाइकॉल मिश्रण · 170 °C110 °Cपानी · 30 °C75 °C · ṁ = ?5% हानि

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 5% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁc ज्ञात कीजिए।

ṁh = 2 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 170 → 110 °Ct: 30 → 75 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 5 %
ṁc = kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम
TH​ = 900 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​η = 49%

एक ऊष्मा इंजन 900 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 15 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 49% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता ηII, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

TH = 900 °CTL = 15 °Cη = 49%
ηII = %
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन
TH​ = 400 °CT0​ = 27 °CTL​ = -15 °CERWQ̇H​ = 100 kWQ̇L​ = ?

एक कार्नो ऊष्मा इंजन 400 °C वाले स्रोत से 100 kW ऊष्मा लेता है और 27 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसका सारा कार्य एक कार्नो रेफ़्रिजरेटर चलाता है जो -15 °C वाले फ़्रीज़र से ऊष्मा निकालता है और वह भी 27 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇L ज्ञात कीजिए जिस पर फ़्रीज़र से ऊष्मा निकाली जाती है।

TH = 400 °CT0 = 27 °CTL = -15 °CQ̇H = 100 kW
Q̇L = kW
7.गैस शक्ति चक्रमध्यम
vP1234qin​qout​

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 17 और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ = 1.8 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 305 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु दी गई ऊष्मा qin kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r = 17rc = 1.8T1 = 305 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.गैस शक्ति चक्रकठिन
vP1234qin​qout​

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 18 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 310 K पर संपीडक में और 1500 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 82% और टरबाइन की 92% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत wnet kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

rp = 18T1 = 310 KT3 = 1500 Kηc = 82%ηt = 92%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 310 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 120/4.003 = 29.98 mol
T = 100 + 273.15 = 373.1 K

आयतन

V = nRT/P = 29.98·8.314·373.1/300 = 310 L

उत्तर

V = 310 L
2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V2 = 2.949 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P1V1/T1 = P2V2/T2।

परम तापमान

T1 = 308.1 K, T2 = 333.1 K

संयुक्त गैस नियम

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(150/550)·(333.1/308.1) = 2.949 L

उत्तर

V2 = 2.949 L
3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: tout = 145.6 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 1·3.6·(150 − 80) = 252 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 252/(0.5·4.18) = 145.6 °C

उत्तर

tout = 145.6 °C
4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁc = 2.182 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Qh = 2·3.6·(170 − 110) = 432 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Qc = (1 − 0.05)·432 = 410.4 kW

पानी प्रवाह दर

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 410.4/(4.18·45) = 2.182 kg/s

उत्तर

ṁc = 2.182 kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: ηII = 64.95 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 900 + 273.15 = 1173 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

कार्नो दक्षता

ηCarnot = 1 − 288.1/1173 = 75.44 %

द्वितीय-नियम दक्षता

ηII = η/ηCarnot = 49/75.44 = 64.95 %

उत्तर

ηII = 64.95 %
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇L = 340.6 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 400 + 273.15 = 673.1 K
T0 = 27 + 273.15 = 300.1 K
TL = -15 + 273.15 = 258.1 K

इंजन का कार्य

η = 1 − 300.1/673.1 = 0.5541
Ẇ = 0.5541·100 = 55.41 kW

रेफ़्रिजरेटर द्वारा निकाली गई ऊष्मा

COPR = 258.1/(300.1 − 258.1) = 6.146
Q̇L = 6.146·55.41 = 340.6 kW

उत्तर

Q̇L = 340.6 kW
7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: qin = 761.6 kJ/kg

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))।

तापमान

T2 = 305·170.4 = 947.3 K
T3 = 1.8·947.3 = 1705 K

नियत दाब पर दी गई ऊष्मा

qin = 1.005·(1705 − 947.3) = 761.6 kJ/kg

उत्तर

qin = 761.6 kJ/kg
8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: wnet = 291.9 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात rp = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k और η = 1 − 1/rp(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को ws/ηc चाहिए और टरबाइन ηt·ws देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T2s = 310·180.2857 = 708 K
T4s = 1500/180.2857 = 656.8 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

wc = 1.005·(708 − 310)/0.82 = 487.7 kJ/kg
wt = 0.92·1.005·(1500 − 656.8) = 779.6 kJ/kg

शुद्ध कार्य

wnet = 779.6 − 487.7 = 291.9 kJ/kg

उत्तर

wnet = 291.9 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: wc/wt = 62.56%।

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