ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा: Q = ṁ·c_p·ΔT
गुप्त ऊष्मा: Q = ṁ·h_fg
मिश्रण: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
पानी: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम

250 kPa और 80 °C पर CO₂ का 300 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 300 gM = 44.01 g/molP = 250 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

2.आदर्श गैस नियमकठिन

Ar की एक निश्चित मात्रा 350 kPa, 5 L, 10 °C से 500 kPa और 210 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 350 kPaV₁ = 5 LT₁ = 10 °CP₂ = 500 kPaT₂ = 210 °C

V₂ = L

3.ऊर्जा संतुलनमध्यम

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान t_out ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 90 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.ऊर्जा संतुलनकठिन

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 15% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁ_c ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Ct: 30 → 90 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 400 °C पर गर्म भंडार और 10 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 2600 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य W_max उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

T_H = 400 °CT_L = 10 °CQ_H = 2600 kJ

W_max = kJ

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक रेफ़्रिजरेटर 28 °C वाली रसोई में अपने ठंडे भाग को 5 °C पर रखता है, ठंडे भाग से 4 kW ऊष्मा निकालते हुए। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 28 °CT_L = 5 °CQ̇_L = 4 kW

Ẇ_min = kW

7.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 20 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 2 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 320 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु दी गई ऊष्मा q_in kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r = 20r_c = 2T₁ = 320 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक आदर्श ब्रेटन चक्र 14 के संपीडक दाब अनुपात पर चलता है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r_p = 14k = 1.4

η = %

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 80.06 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 300/44.01 = 6.817 mol

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

आयतन

V = nRT/P = 6.817·8.314·353.1/250 = 80.06 L

उत्तर

V = 80.06 L

2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 5.972 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 283.1 K, T₂ = 483.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(350/500)·(483.1/283.1) = 5.972 L

उत्तर

V₂ = 5.972 L

3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: t_out = 40.07 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 0.5·3.6·(160 − 90) = 126 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 126/(2·4.18) = 40.07 °C

उत्तर

t_out = 40.07 °C

4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁ_c = 0.366 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Q_h = 0.5·3.6·(130 − 70) = 108 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Q_c = (1 − 0.15)·108 = 91.8 kW

पानी प्रवाह दर

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 91.8/(4.18·60) = 0.366 kg/s

उत्तर

ṁ_c = 0.366 kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: W_max = 1506 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/673.1 = 57.94 %

अधिकतम कार्य

W_max = η_max·Q_H = 0.5794·2600 = 1506 kJ

उत्तर

W_max = 1506 kJ

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.3308 kW

परम तापमान

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 278.1/(301.1 − 278.1) = 12.09

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 4/12.09 = 0.3308 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.3308 kW

7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: q_in = 1066 kJ/kg

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

तापमान

T₂ = 320·20^0.4 = 1061 K

T₃ = 2·1061 = 2121 K

नियत दाब पर दी गई ऊष्मा

q_in = 1.005·(2121 − 1061) = 1066 kJ/kg

उत्तर

q_in = 1066 kJ/kg

8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 52.95 %

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

तापीय दक्षता

η = 1 − 1/14^0.2857 = 1 − 1/2.126 = 52.95%

उत्तर

η = 52.95%

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