ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा: Q = ṁ·c_p·ΔT
गुप्त ऊष्मा: Q = ṁ·h_fg
मिश्रण: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
पानी: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम

30 L की टंकी में 15 °C पर CH₄ का 10 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 10 gM = 16.04 g/molV = 30 LT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.आदर्श गैस नियमकठिन

Ar की एक निश्चित मात्रा 150 kPa, 5 L, 20 °C से 500 kPa और 130 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 150 kPaV₁ = 5 LT₁ = 20 °CP₂ = 500 kPaT₂ = 130 °C

V₂ = L

3.ऊर्जा संतुलनमध्यम

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान t_out ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 60 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.ऊर्जा संतुलनकठिन

गर्म हल्का तेल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 15% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁ_c ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Ct: 15 → 50 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 6 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को -20 °C पर रखता है, और 40 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = -20 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 6 kW

Q̇_H = kW

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप बाहर -10 °C होने पर घर को 22 °C पर रखता है, और घर को 15 kW ऊष्मा देता है। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 22 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 15 kW

Ẇ_min = kW

7.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 17 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 1.5 है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r = 17r_c = 1.5k = 1.4

η = %

8.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 16 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 290 K पर संपीडक में और 1400 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 82% और टरबाइन की 88% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 16T₁ = 290 KT₃ = 1400 Kη_c = 82%η_t = 88%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 49.79 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 10/16.04 = 0.6234 mol

T = 15 + 273.15 = 288.1 K

दाब

P = nRT/V = 0.6234·8.314·288.1/0.03 = 49.79 kPa

उत्तर

P = 49.79 kPa

2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 2.063 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 293.1 K, T₂ = 403.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(150/500)·(403.1/293.1) = 2.063 L

उत्तर

V₂ = 2.063 L

3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: t_out = 136.3 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 3·3.6·(150 − 60) = 972 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 972/(2·4.18) = 136.3 °C

उत्तर

t_out = 136.3 °C

4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁ_c = 0.7321 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Q_h = 1·2.1·(130 − 70) = 126 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Q_c = (1 − 0.15)·126 = 107.1 kW

पानी प्रवाह दर

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 107.1/(4.18·35) = 0.7321 kg/s

उत्तर

ṁ_c = 0.7321 kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 7.422 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 40 + 273.15 = 313.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 6·313.1/253.1 = 7.422 kW

उत्तर

Q̇_H = 7.422 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 1.422 kW।

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 1.626 kW

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 263.1) = 9.223

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 15/9.223 = 1.626 kW

उत्तर

Ẇ_min = 1.626 kW

7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 64.85 %

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

कटऑफ़ पद

(1.5^1.4 − 1)/(1.4·(1.5 − 1)) = 1.092

तापीय दक्षता

η = 1 − 0.322·1.092 = 64.85%

उत्तर

η = 64.85%

8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 248 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T_2s = 290·16^0.2857 = 640.4 K

T_4s = 1400/16^0.2857 = 634 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(640.4 − 290)/0.82 = 429.4 kJ/kg

w_t = 0.88·1.005·(1400 − 634) = 677.4 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 677.4 − 429.4 = 248 kJ/kg

उत्तर

w_net = 248 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 63.39%।

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