ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा: Q = ṁ·c_p·ΔT
गुप्त ऊष्मा: Q = ṁ·h_fg
मिश्रण: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
पानी: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम

250 kPa और 50 °C पर O₂ का 330 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 330 gM = 32 g/molP = 250 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

2.आदर्श गैस नियमकठिन

CH₄ की एक निश्चित मात्रा 250 kPa, 20 L, 20 °C से 800 kPa और 150 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 250 kPaV₁ = 20 LT₁ = 20 °CP₂ = 800 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

3.ऊर्जा संतुलनमध्यम

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान t_out ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 120 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.ऊर्जा संतुलनकठिन

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 15% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁ_c ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 140 °Ct: 30 → 45 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 850 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 25 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 48% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता η_II, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

T_H = 850 °CT_L = 25 °Cη = 48%

η_II = %

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 1000 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान T_m वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 20 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजन समान कार्य उत्पन्न करते हैं। T_m को °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 1000 °CT_L = 20 °C

T_m = °C

7.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 19 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 3 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 310 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु दी गई ऊष्मा q_in kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r = 19r_c = 3T₁ = 310 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक आदर्श ब्रेटन चक्र 16 के संपीडक दाब अनुपात पर चलता है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r_p = 16k = 1.4

η = %

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 110.8 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 330/32 = 10.31 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

आयतन

V = nRT/P = 10.31·8.314·323.1/250 = 110.8 L

उत्तर

V = 110.8 L

2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 9.022 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 293.1 K, T₂ = 423.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(250/800)·(423.1/293.1) = 9.022 L

उत्तर

V₂ = 9.022 L

3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: t_out = 101.1 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 2·3.6·(170 − 120) = 360 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 360/(1·4.18) = 101.1 °C

उत्तर

t_out = 101.1 °C

4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁ_c = 0.9761 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Q_h = 0.5·3.6·(180 − 140) = 72 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Q_c = (1 − 0.15)·72 = 61.2 kW

पानी प्रवाह दर

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 61.2/(4.18·15) = 0.9761 kg/s

उत्तर

ṁ_c = 0.9761 kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_II = 65.35 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

कार्नो दक्षता

η_Carnot = 1 − 298.1/1123 = 73.45 %

द्वितीय-नियम दक्षता

η_II = η/η_Carnot = 48/73.45 = 65.35 %

उत्तर

η_II = 65.35 %

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_m = 510 °C

परम तापमान

T_H = 1000 + 273.15 = 1273 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

समान कार्य

W = Q·(1 − T_low/T_high) और Q/T हर भंडार पर समान है, इसलिए W तापमान गिरावट के समानुपाती है।

T_m = (1273 + 293.1)/2 = 783.2 K = 510 °C

उत्तर

T_m = 510 °C

7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: q_in = 2023 kJ/kg

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

तापमान

T₂ = 310·19^0.4 = 1007 K

T₃ = 3·1007 = 3020 K

नियत दाब पर दी गई ऊष्मा

q_in = 1.005·(3020 − 1007) = 2023 kJ/kg

उत्तर

q_in = 2023 kJ/kg

8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 54.71 %

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

तापीय दक्षता

η = 1 − 1/16^0.2857 = 1 − 1/2.208 = 54.71%

उत्तर

η = 54.71%

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