ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम
pV = nRT
गैस नियतांक
R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम
p1V1/T1 = p2V2/T2
मोल
n = m/M
तापमान
T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा
Q = ṁ·cp·ΔT
गुप्त ऊष्मा
Q = ṁ·hfg
मिश्रण
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
पानी
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता
η = W/QH = 1 − QC/QH
कार्नो दक्षता
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP
COPR = QC/W
हीट पंप का COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
ऊर्जा संतुलन
QH = W + QC

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात
T2/T1 = rk−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात
T2/T1 = rp(k−1)/k
ऑटो दक्षता
η = 1 − 1/rk−1
डीज़ल दक्षता
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ब्रेटन दक्षता
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
दी गई ऊष्मा
ऑटो: cv(T3 − T2) डीज़ल, ब्रेटन: cp(T3 − T2)
ब्रेटन शुद्ध कार्य
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
ठंडी वायु
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम
CH₄ का 90 gP = 650 kPaT = 5 °CV = ?

650 kPa और 5 °C पर CH₄ का 90 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 90 gM = 16.04 g/molP = 650 kPaT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.आदर्श गैस नियमकठिन
अवस्था 1अवस्था 2

CH₄ की एक निश्चित मात्रा 100 kPa, 20 L, 10 °C से 400 kPa और 110 °C पर जाती है। नया आयतन V2 ज्ञात कीजिए।

P1 = 100 kPaV1 = 20 LT1 = 10 °CP2 = 400 kPaT2 = 110 °C
V2 = L
3.ऊर्जा संतुलनमध्यम
गर्म पक्षठंडा पक्षग्लाइकॉल मिश्रण · 160 °C90 °Cपानी · 25 °Ct = ? °C

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान tout ज्ञात कीजिए।

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 90 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.ऊर्जा संतुलनकठिन
गर्म पक्षठंडा पक्षएथेनॉल · 140 °C80 °Cपानी · 30 °C45 °C · ṁ = ?10% हानि

गर्म एथेनॉल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 10% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁc ज्ञात कीजिए।

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 80 °Ct: 30 → 45 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 10 %
ṁc = kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम
TH​ = 30 °CTL​ = -10 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 6 kWẆ

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 6 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को -10 °C पर रखता है, और 30 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

TL = -10 °CTH = 30 °CQ̇L = 6 kW
Q̇H = kW
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन
TH​ = 20 °CTL​ = 2 °CHPQ̇H​ = 10 kWQ̇L​Ẇ = ?

एक ऊष्मा पंप 2 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 20 °C वाले तापन तंत्र को 10 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 45% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

TH = 20 °CTL = 2 °CηII = 45%Q̇H = 10 kW
Ẇ = kW
7.गैस शक्ति चक्रमध्यम
vP1234qin​qout​

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 19 और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ = 2.2 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 320 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु दी गई ऊष्मा qin kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r = 19rc = 2.2T1 = 320 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.गैस शक्ति चक्रकठिन
vP1234qin​qout​

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 8 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 288 K पर संपीडक में और 1300 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 80% और टरबाइन की 85% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत wnet kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

rp = 8T1 = 288 KT3 = 1300 Kηc = 80%ηt = 85%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 19.96 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 90/16.04 = 5.611 mol
T = 5 + 273.15 = 278.1 K

आयतन

V = nRT/P = 5.611·8.314·278.1/650 = 19.96 L

उत्तर

V = 19.96 L
2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V2 = 6.766 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P1V1/T1 = P2V2/T2।

परम तापमान

T1 = 283.1 K, T2 = 383.1 K

संयुक्त गैस नियम

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(100/400)·(383.1/283.1) = 6.766 L

उत्तर

V2 = 6.766 L
3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: tout = 55.14 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 0.5·3.6·(160 − 90) = 126 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 126/(1·4.18) = 55.14 °C

उत्तर

tout = 55.14 °C
4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁc = 4.203 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Qh = 2·2.44·(140 − 80) = 292.8 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Qc = (1 − 0.1)·292.8 = 263.5 kW

पानी प्रवाह दर

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 263.5/(4.18·15) = 4.203 kg/s

उत्तर

ṁc = 4.203 kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇H = 6.912 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 30 + 273.15 = 303.1 K
TL = -10 + 273.15 = 263.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 6·303.1/263.1 = 6.912 kW

उत्तर

Q̇H = 6.912 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 0.912 kW।

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 1.364 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 20 + 273.15 = 293.1 K
TL = 2 + 273.15 = 275.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COPmax = 293.1/(293.1 − 275.1) = 16.29
COP = 0.45·16.29 = 7.329

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇H/COP = 10/7.329 = 1.364 kW

उत्तर

Ẇ = 1.364 kW
7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: qin = 1253 kJ/kg

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))।

तापमान

T2 = 320·190.4 = 1039 K
T3 = 2.2·1039 = 2286 K

नियत दाब पर दी गई ऊष्मा

qin = 1.005·(2286 − 1039) = 1253 kJ/kg

उत्तर

qin = 1253 kJ/kg
8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: wnet = 203.9 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात rp = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k और η = 1 − 1/rp(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को ws/ηc चाहिए और टरबाइन ηt·ws देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T2s = 288·80.2857 = 521.7 K
T4s = 1300/80.2857 = 717.7 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

wc = 1.005·(521.7 − 288)/0.8 = 293.6 kJ/kg
wt = 0.85·1.005·(1300 − 717.7) = 497.5 kJ/kg

शुद्ध कार्य

wnet = 497.5 − 293.6 = 203.9 kJ/kg

उत्तर

wnet = 203.9 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: wc/wt = 59.02%।

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