तरंगें और प्रकाशिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

1.6 s आवर्तकाल पाने के लिए सरल लोलक कितना लंबा होना चाहिए? g = 9.81 m/s² लें। L ज्ञात कीजिए।

T = 1.6 sg = 9.81 m/s²

L = m

2.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 90 N/m वाले स्प्रिंग पर एक द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 13 cm आयाम से दोलन करता है। द्रव्यमान के संतुलन से 3 cm पर होने पर स्प्रिंग में संचित ऊर्जा U ज्ञात कीजिए।

k = 90 N/mA = 13 cmx = 3 cm

U = J

3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

1000 Hz का एक स्रोत स्थिर प्रेक्षक से दूर 25 m/s से चलता है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। प्रेक्षक को सुनाई देने वाली आवृत्ति f′ ज्ञात करें।

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

दो पतले लेंस एक ही अक्ष पर 30 cm की दूरी पर हैं: लेंस 1 की f₁ = 5 cm और लेंस 2 की f₂ = 20 cm है। एक वस्तु लेंस 1 के सामने 18 cm पर है। अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति d_i2 लेंस 2 से मापकर ज्ञात करें (लेंस 2 के आगे धनात्मक, वास्तविक-धनात्मक परिपाटी)।

f₁ = 5 cmf₂ = 20 cms = 30 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3विलयन

1.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: L = 0.6361 m

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लंबाई के लिए हल करें

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.6/2π)² = 0.6361 m

उत्तर

L = 0.6361 m

2.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: U = 0.0405 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कुल ऊर्जा

E = ½·k·A² = ½·90·0.13² = 0.7605 J

x पर स्प्रिंग ऊर्जा

U = ½·k·x² = ½·90·0.03² = 0.0405 J

उत्तर

U = 0.0405 J

3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f′ = 932.1 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

डॉप्लर सूत्र

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1000·(343 − 0)/(343 + 25)

f′ = 932.1 Hz

उत्तर

f′ = 932.1 Hz

4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i2 = 150 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

लेंस 1 का प्रतिबिंब

1/d_i1 = 1/5 − 1/18 → d_i1 = 6.923 cm

लेंस 2 के लिए वस्तु

d_o2 = 30 − 6.923 = 23.08 cm

अंतिम प्रतिबिंब

1/d_i2 = 1/20 − 1/23.08 → d_i2 = 150 cm

उत्तर

d_i2 = 150 cm

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