स्प्रिंग और लोलक
- स्प्रिंग पर द्रव्यमान
- T = 2π·√(m/k)
- लोलक
- T = 2π·√(L/g)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = √(k/m) = 2π/T
- अधिकतम चाल और त्वरण
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- ऊर्जा
- E = ½·k·A²
तरंगें और प्रकाशिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
- तरंग चाल
- v = fλ, T = 1/f
- डोरी
- v = √(T/μ), μ = m/L
- ध्वनि स्तर
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- बिंदु स्रोत
- I = P/(4πr²)
- अप्रगामी तरंगें
- डोरी या खुली नली fn = n·v/(2L); बंद नली fn = n·v/(4L), n विषम
- डॉप्लर प्रभाव
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- अपवर्तनांक
- n = c/v, λ = λ0/n
- स्नेल का नियम
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- क्रांतिक कोण
- sin θc = n2/n1
- प्रकाशिक तंतु
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- लेंस और दर्पण
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- द्वि-झिरी
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- झरझरी
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- एकल झिरी
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
विधि
- प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
- पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
- इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
- चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।
2अभ्यास प्रश्न
1.स्प्रिंग और लोलकमध्यम
किसी अन्य ग्रह पर एक अंतरिक्ष यात्री पाता है कि 0.8 m लंबे सरल लोलक का छोटे दोलनों के लिए आवर्तकाल 2.91 s है। उस ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण g ज्ञात कीजिए।
L = 0.8 mT = 2.91 s
g = m/s²
2.स्प्रिंग और लोलककठिन
200 m/s से चलती एक 15 g गोली घर्षणरहित सतह पर रखे 3.5 kg गुटके से टकराकर उसमें रह जाती है। गुटका k = 1800 N/m वाले एक क्षैतिज स्प्रिंग से जुड़ा है। परिणामी दोलन का आयाम A cm में ज्ञात कीजिए।
m = 15 gv = 200 m/sM = 3.5 kgk = 1800 N/m
A = cm
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम
1 cm ऊँची एक वस्तु 30 cm फोकस दूरी वाले पतले अपसारी लेंस के सामने 40 cm पर रखी है। प्रतिबिंब की ऊँचाई hi ज्ञात करें (उल्टे प्रतिबिंब के लिए ऋणात्मक)।
ho = 1 cmdo = 40 cmf = −30 cm
hi = cm
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन
0.3 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियाँ एकवर्णी प्रकाश से प्रदीप्त हैं। 3 m दूर परदे पर दीप्त फ्रिंज संख्या 5 केंद्रीय फ्रिंज से 27.5 mm दूर है। तरंगदैर्ध्य λ ज्ञात करें।
d = 0.3 mmL = 3 my5 = 27.5 mmm = 5
λ = nm
3विलयन
1.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: g = 3.73 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
g के लिए हल करें
g = 4π²·L/T² = 4π²·0.8/2.91² = 3.73 m/s²
उत्तर
g = 3.73 m/s²
2.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: A = 3.772 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
टक्कर के बाद चाल
V = m·v/(m + M) = 0.015·200/3.515 = 0.8535 m/s
कोणीय आवृत्ति
ω = √(k/(m + M)) = √(1800/3.515) = 22.63 rad/s
आयाम
A = V/ω = 0.8535/22.63 = 0.03772 m = 3.772 cm
उत्तर
A = 3.772 cm
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: hi = 0.4286 cm
ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θc = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/do + 1/di का पालन करते हैं, आवर्धन m = −di/do के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए di > 0, आभासी के लिए di < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।
पतले लेंस का समीकरण
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−30) − 1/40
di = −17.14 cm
आवर्धन और ऊँचाई
m = −(−17.14)/40 = 0.4286
hi = 0.4286·1 = 0.4286 cm
उत्तर
hi = 0.4286 cm
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: λ = 550 nm
व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।
तरंगदैर्ध्य
λ = y·d/(mL) = 0.0275·0.0003/(5·3) = 5.5 × 10⁻⁷ m = 550 nm
उत्तर
λ = 550 nm
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