स्प्रिंग और लोलक
- स्प्रिंग पर द्रव्यमान
- T = 2π·√(m/k)
- लोलक
- T = 2π·√(L/g)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = √(k/m) = 2π/T
- अधिकतम चाल और त्वरण
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- ऊर्जा
- E = ½·k·A²
तरंगें और प्रकाशिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
- तरंग चाल
- v = fλ, T = 1/f
- डोरी
- v = √(T/μ), μ = m/L
- ध्वनि स्तर
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- बिंदु स्रोत
- I = P/(4πr²)
- अप्रगामी तरंगें
- डोरी या खुली नली fn = n·v/(2L); बंद नली fn = n·v/(4L), n विषम
- डॉप्लर प्रभाव
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- अपवर्तनांक
- n = c/v, λ = λ0/n
- स्नेल का नियम
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- क्रांतिक कोण
- sin θc = n2/n1
- प्रकाशिक तंतु
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- लेंस और दर्पण
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- द्वि-झिरी
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- झरझरी
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- एकल झिरी
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
विधि
- प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
- पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
- इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
- चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।
2अभ्यास प्रश्न
1.स्प्रिंग और लोलकमध्यम
k = 450 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 3 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 16 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 14 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।
m = 3 kgk = 450 N/mA = 16 cmx = 14 cm
v = m/s
2.स्प्रिंग और लोलककठिन
k = 220 N/m वाले स्प्रिंग पर 0.6 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 12 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसका अधिकतम त्वरण amax ज्ञात कीजिए।
m = 0.6 kgk = 220 N/mA = 12 cm
amax = m/s²
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम
एक छोटा स्रोत ध्वनि को सभी दिशाओं में समान रूप से भेजता है। उससे 1 m पर स्तर 65 dB है। अवशोषण और परावर्तन को अनदेखा करते हुए 4 m पर स्तर β2 ज्ञात करें।
β1 = 65 dBr1 = 1 mr2 = 4 m
β2 = dB
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन
प्रति मिलीमीटर 100 रेखाओं वाली झरझरी किसी वर्णक्रम रेखा का कोटि-2 उच्चिष्ठ सीधी दिशा से 6.1° पर दिखाती है। रेखा की तरंगदैर्ध्य λ ज्ञात करें।
N = 100 mm⁻¹θ2 = 6.1°m = 2
λ = nm
3विलयन
1.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: v = 0.9487 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
कोणीय आवृत्ति
ω = √(450/3) = 12.25 rad/s
x पर चाल
v = ω·√(A² − x²) = 12.25·√(0.16² − 0.14²) = 0.9487 m/s
उत्तर
v = 0.9487 m/s
2.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: amax = 44 m/s²
सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।
कोणीय आवृत्ति
ω = √(220/0.6) = 19.15 rad/s
अधिकतम त्वरण
amax = A·ω² = 0.12·19.15² = 44 m/s²
उत्तर
amax = 44 m/s²
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: β2 = 52.96 dB
तरंगें: आवर्ती तरंग एक आवर्तकाल में एक तरंगदैर्ध्य चलती है, इसलिए v = fλ, जहाँ T = 1/f। तनी हुई डोरी पर v = √(T/μ), जहाँ T तनाव और μ = m/L प्रति मीटर द्रव्यमान है। 20 °C पर वायु में ध्वनि लगभग 343 m/s से चलती है, निर्वात में प्रकाश c = 3.00 × 10⁸ m/s से। प्रबलता लघुगणकीय पैमाने पर मापी जाती है: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, जहाँ I₀ = 10⁻¹² W/m², इसलिए तीव्रता 10 गुनी होने पर 10 dB जुड़ता है। बिंदु स्रोत अपनी शक्ति P को गोले पर फैलाता है: I = P/(4πr²)।
तीव्रता अनुपात
I₂/I₁ = (1/4)² = 0.0625
नया स्तर
β₂ = 65 + 10·log₁₀(0.0625) = 52.96 dB
उत्तर
β2 = 52.96 dB
दूरी का हर दोगुना होना स्तर को लगभग 6 dB घटाता है।
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: λ = 531.3 nm
व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।
तरंगदैर्ध्य
λ = d·sin θ/m = 1 × 10⁻⁵·sin 6.1°/2 = 531.3 nm
उत्तर
λ = 531.3 nm
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