तरंगें और प्रकाशिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान
T = 2π·√(m/k)
लोलक
T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति
ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण
vmax = A·ω, amax = A·ω²
ऊर्जा
E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल
v = fλ, T = 1/f
डोरी
v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत
I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें
डोरी या खुली नली fn = n·v/(2L); बंद नली fn = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
अपवर्तनांक
n = c/v, λ = λ0/n
स्नेल का नियम
n1sin θ1 = n2sin θ2
क्रांतिक कोण
sin θc = n2/n1
प्रकाशिक तंतु
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
लेंस और दर्पण
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
द्वि-झिरी
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
झरझरी
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
एकल झिरी
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

  1. प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
  2. पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
  3. इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
  4. चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.स्प्रिंग और लोलकमध्यम
L = ?

1.5 s आवर्तकाल पाने के लिए सरल लोलक कितना लंबा होना चाहिए? g = 9.81 m/s² लें। L ज्ञात कीजिए।

T = 1.5 sg = 9.81 m/s²
L = m
2.स्प्रिंग और लोलककठिन
2.5 kgk = 1400 N/m500 m/s

500 m/s से चलती एक 15 g गोली घर्षणरहित सतह पर रखे 2.5 kg गुटके से टकराकर उसमें रह जाती है। गुटका k = 1400 N/m वाले एक क्षैतिज स्प्रिंग से जुड़ा है। परिणामी दोलन का आयाम A cm में ज्ञात कीजिए।

m = 15 gv = 500 m/sM = 2.5 kgk = 1400 N/m
A = cm
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम
L = ?n = 1

एक सिरे पर बंद नली का मूल (प्रथम संनादी) 132 Hz पर होना चाहिए। ध्वनि की चाल 343 m/s है। नली की लंबाई L ज्ञात करें।

v = 343 m/sn = 1f1 = 132 Hz
L = m
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन
f1​ = 20 cmf2​ = 20 cm50 cm60 cm

दो पतले लेंस एक ही अक्ष पर 60 cm की दूरी पर हैं: लेंस 1 की f₁ = 20 cm और लेंस 2 की f₂ = 20 cm है। एक वस्तु लेंस 1 के सामने 50 cm पर है। अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति di2 लेंस 2 से मापकर ज्ञात करें (लेंस 2 के आगे धनात्मक, वास्तविक-धनात्मक परिपाटी)।

f1 = 20 cmf2 = 20 cms = 60 cmdo = 50 cm
di2 = cm

3विलयन

1.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: L = 0.5591 m

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लंबाई के लिए हल करें

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.5/2π)² = 0.5591 m

उत्तर

L = 0.5591 m
2.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: A = 12.64 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

टक्कर के बाद चाल

V = m·v/(m + M) = 0.015·500/2.515 = 2.982 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(k/(m + M)) = √(1400/2.515) = 23.59 rad/s

आयाम

A = V/ω = 2.982/23.59 = 0.1264 m = 12.64 cm

उत्तर

A = 12.64 cm
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: L = 0.6496 m

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, fn = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

तरंगदैर्ध्य

λ = v/f = 343/132 = 2.598 m

लंबाई

L = nλ/4 = 1·2.598/4 = 0.6496 m

उत्तर

L = 0.6496 m
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: di2 = 80 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θc = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/do + 1/di का पालन करते हैं, आवर्धन m = −di/do के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए di > 0, आभासी के लिए di < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

लेंस 1 का प्रतिबिंब

1/di1 = 1/20 − 1/50 → di1 = 33.33 cm

लेंस 2 के लिए वस्तु

do2 = 60 − 33.33 = 26.67 cm

अंतिम प्रतिबिंब

1/di2 = 1/20 − 1/26.67 → di2 = 80 cm

उत्तर

di2 = 80 cm

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