स्प्रिंग और लोलक
- स्प्रिंग पर द्रव्यमान
- T = 2π·√(m/k)
- लोलक
- T = 2π·√(L/g)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = √(k/m) = 2π/T
- अधिकतम चाल और त्वरण
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- ऊर्जा
- E = ½·k·A²
तरंगें और प्रकाशिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
- तरंग चाल
- v = fλ, T = 1/f
- डोरी
- v = √(T/μ), μ = m/L
- ध्वनि स्तर
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- बिंदु स्रोत
- I = P/(4πr²)
- अप्रगामी तरंगें
- डोरी या खुली नली fn = n·v/(2L); बंद नली fn = n·v/(4L), n विषम
- डॉप्लर प्रभाव
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- अपवर्तनांक
- n = c/v, λ = λ0/n
- स्नेल का नियम
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- क्रांतिक कोण
- sin θc = n2/n1
- प्रकाशिक तंतु
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- लेंस और दर्पण
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- द्वि-झिरी
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- झरझरी
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- एकल झिरी
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
विधि
- प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
- पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
- इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
- चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।
2अभ्यास प्रश्न
1.स्प्रिंग और लोलकमध्यम
k = 270 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 0.6 kg द्रव्यमान को धनात्मक दिशा में 9 cm खींचकर t = 0 पर विराम से छोड़ा जाता है। t = 0.65 s पर संतुलन से उसका विस्थापन x (चिह्न सहित) ज्ञात कीजिए।
m = 0.6 kgk = 270 N/mA = 9 cmt = 0.65 s
x = cm
2.स्प्रिंग और लोलककठिन
k = 130 N/m वाले स्प्रिंग पर 2.5 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 12 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसका अधिकतम त्वरण amax ज्ञात कीजिए।
m = 2.5 kgk = 130 N/mA = 12 cm
amax = m/s²
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम
दोनों सिरों पर खुली नली का संनादी संख्या 5 1072 Hz पर होना चाहिए। ध्वनि की चाल 343 m/s है। नली की लंबाई L ज्ञात करें।
v = 343 m/sn = 5f5 = 1072 Hz
L = m
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन
0.3 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियाँ एकवर्णी प्रकाश से प्रदीप्त हैं। 1.2 m दूर परदे पर दीप्त फ्रिंज संख्या 3 केंद्रीय फ्रिंज से 5.76 mm दूर है। तरंगदैर्ध्य λ ज्ञात करें।
d = 0.3 mmL = 1.2 my3 = 5.76 mmm = 3
λ = nm
3विलयन
1.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: x = 3.074 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
कोणीय आवृत्ति
ω = √(270/0.6) = 21.21 rad/s
ω·t = 21.21·0.65 = 13.79 rad
विस्थापन
x = A·cos(ω·t) = 9·cos(13.79) = 3.074 cm
उत्तर
x = 3.074 cm
2.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: amax = 6.24 m/s²
सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।
कोणीय आवृत्ति
ω = √(130/2.5) = 7.211 rad/s
अधिकतम त्वरण
amax = A·ω² = 0.12·7.211² = 6.24 m/s²
उत्तर
amax = 6.24 m/s²
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: L = 0.7999 m
अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, fn = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।
तरंगदैर्ध्य
λ = v/f = 343/1072 = 0.32 m
लंबाई
L = nλ/2 = 5·0.32/2 = 0.7999 m
उत्तर
L = 0.7999 m
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: λ = 480 nm
व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।
तरंगदैर्ध्य
λ = y·d/(mL) = 0.00576·0.0003/(3·1.2) = 4.8 × 10⁻⁷ m = 480 nm
उत्तर
λ = 480 nm
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