स्प्रिंग और लोलक
- स्प्रिंग पर द्रव्यमान
- T = 2π·√(m/k)
- लोलक
- T = 2π·√(L/g)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = √(k/m) = 2π/T
- अधिकतम चाल और त्वरण
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- ऊर्जा
- E = ½·k·A²
तरंगें और प्रकाशिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
- तरंग चाल
- v = fλ, T = 1/f
- डोरी
- v = √(T/μ), μ = m/L
- ध्वनि स्तर
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- बिंदु स्रोत
- I = P/(4πr²)
- अप्रगामी तरंगें
- डोरी या खुली नली fn = n·v/(2L); बंद नली fn = n·v/(4L), n विषम
- डॉप्लर प्रभाव
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- अपवर्तनांक
- n = c/v, λ = λ0/n
- स्नेल का नियम
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- क्रांतिक कोण
- sin θc = n2/n1
- प्रकाशिक तंतु
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- लेंस और दर्पण
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- द्वि-झिरी
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- झरझरी
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- एकल झिरी
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
विधि
- प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
- पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
- इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
- चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।
2अभ्यास प्रश्न
1.स्प्रिंग और लोलकमध्यम
k = 80 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 2.3 kg द्रव्यमान को धनात्मक दिशा में 9 cm खींचकर t = 0 पर विराम से छोड़ा जाता है। t = 0.95 s पर संतुलन से उसका विस्थापन x (चिह्न सहित) ज्ञात कीजिए।
m = 2.3 kgk = 80 N/mA = 9 cmt = 0.95 s
x = cm
2.स्प्रिंग और लोलककठिन
एक पिंड 3.9 s आवर्तकाल और 19 cm आयाम के साथ सरल आवर्त गति में दोलन करता है। संतुलन से 5.7 cm विस्थापन तक जाने में इसे न्यूनतम कितना समय t लगता है?
T = 3.9 sA = 19 cmx = 5.7 cm
t = s
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम
5 cm ऊँची एक वस्तु 8 cm फोकस दूरी वाले पतले अभिसारी लेंस के सामने 60 cm पर रखी है। प्रतिबिंब की ऊँचाई hi ज्ञात करें (उल्टे प्रतिबिंब के लिए ऋणात्मक)।
ho = 5 cmdo = 60 cmf = 8 cm
hi = cm
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन
600 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.05 mm चौड़ी एकल झिरी से गुज़रता है। 2.5 m दूर परदे पर केंद्रीय दीप्त उच्चिष्ठ की चौड़ाई w ज्ञात करें (दोनों ओर के पहले अदीप्त फ्रिंजों के बीच)।
λ = 600 nma = 0.05 mmL = 2.5 m
w = mm
3विलयन
1.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: x = 6.996 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
कोणीय आवृत्ति
ω = √(80/2.3) = 5.898 rad/s
ω·t = 5.898·0.95 = 5.603 rad
विस्थापन
x = A·cos(ω·t) = 9·cos(5.603) = 6.996 cm
उत्तर
x = 6.996 cm
2.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: t = 0.1891 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
कोणीय आवृत्ति
ω = 2π/T = 2π/3.9 = 1.611 rad/s
समय के लिए हल करें
0.3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.3) = 0.3047 rad
t = 0.3047/1.611 = 0.1891 s
उत्तर
t = 0.1891 s
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: hi = −0.7692 cm
ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θc = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/do + 1/di का पालन करते हैं, आवर्धन m = −di/do के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए di > 0, आभासी के लिए di < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।
पतले लेंस का समीकरण
1/di = 1/f − 1/do = 1/8 − 1/60
di = 9.231 cm
आवर्धन और ऊँचाई
m = −9.231/60 = −0.1538
hi = −0.1538·5 = −0.7692 cm
उत्तर
hi = −0.7692 cm
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: w = 60 mm
व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।
पहला अदीप्त फ्रिंज
y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·2.5/(0.05 × 10⁻³) = 30 mm
केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई
w = 2y₁ = 60 mm
उत्तर
w = 60 mm
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