स्प्रिंग और लोलक
- स्प्रिंग पर द्रव्यमान
- T = 2π·√(m/k)
- लोलक
- T = 2π·√(L/g)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = √(k/m) = 2π/T
- अधिकतम चाल और त्वरण
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- ऊर्जा
- E = ½·k·A²
तरंगें और प्रकाशिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
- तरंग चाल
- v = fλ, T = 1/f
- डोरी
- v = √(T/μ), μ = m/L
- ध्वनि स्तर
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- बिंदु स्रोत
- I = P/(4πr²)
- अप्रगामी तरंगें
- डोरी या खुली नली fn = n·v/(2L); बंद नली fn = n·v/(4L), n विषम
- डॉप्लर प्रभाव
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- अपवर्तनांक
- n = c/v, λ = λ0/n
- स्नेल का नियम
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- क्रांतिक कोण
- sin θc = n2/n1
- प्रकाशिक तंतु
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- लेंस और दर्पण
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- द्वि-झिरी
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- झरझरी
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- एकल झिरी
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
विधि
- प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
- पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
- इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
- चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।
2अभ्यास प्रश्न
1.स्प्रिंग और लोलकमध्यम
k = 280 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 0.9 kg द्रव्यमान को धनात्मक दिशा में 9 cm खींचकर t = 0 पर विराम से छोड़ा जाता है। t = 0.5 s पर संतुलन से उसका विस्थापन x (चिह्न सहित) ज्ञात कीजिए।
m = 0.9 kgk = 280 N/mA = 9 cmt = 0.5 s
x = cm
2.स्प्रिंग और लोलककठिन
k = 460 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 3 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। स्प्रिंग का अधिकतम खिंचाव xmax cm में ज्ञात कीजिए।
m = 3 kgk = 460 N/mg = 9.81 m/s²
xmax = cm
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम
प्रकाश ऐक्रिलिक (n = 1.49) में पानी (n = 1.33) के साथ समतल सीमा की ओर चलता है। वह क्रांतिक कोण θc ज्ञात करें जिसके आगे वह पूर्णतः परावर्तित होता है।
n1 = 1.49n2 = 1.33
θc = °
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन
स्थिर सेंसर 25 kHz की पराश्रव्य ध्वनि एक कार की ओर भेजता है जो 10 m/s से दूर जा रही है और प्रतिध्वनि को उत्सर्जित संकेत से मिलाता है। विस्पंद आवृत्ति fb ज्ञात करें (ध्वनि की चाल 343 m/s)।
f = 25 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s
fb = Hz
3विलयन
1.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: x = −7.399 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
कोणीय आवृत्ति
ω = √(280/0.9) = 17.64 rad/s
ω·t = 17.64·0.5 = 8.819 rad
विस्थापन
x = A·cos(ω·t) = 9·cos(8.819) = −7.399 cm
उत्तर
x = −7.399 cm
2.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: xmax = 12.8 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
संतुलन और आयाम
x₀ = m·g/k = 3·9.81/460 = 0.06398 m = A
निम्नतम बिंदु
xmax = 2A = 0.128 m = 12.8 cm
उत्तर
xmax = 12.8 cm
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: θc = 63.2 °
ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θc = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/do + 1/di का पालन करते हैं, आवर्धन m = −di/do के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए di > 0, आभासी के लिए di < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।
90° पर अपवर्तन
sin θc = n₂/n₁ = 1.33/1.49 = 0.8926
क्रांतिक कोण
θc = arcsin(0.8926) = 63.2°
उत्तर
θc = 63.2°
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: fb = 1416 Hz
अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, fn = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।
कार पर आवृत्ति
f′ = 25000·(343 − 10)/343 = 24271 Hz
प्रतिध्वनि की आवृत्ति
f″ = f′·343/(343 + 10) = 23584 Hz
विस्पंद आवृत्ति
fb = |f″ − f| = 1416 Hz
उत्तर
fb = 1416 Hz
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