स्प्रिंग और लोलक
- स्प्रिंग पर द्रव्यमान
- T = 2π·√(m/k)
- लोलक
- T = 2π·√(L/g)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = √(k/m) = 2π/T
- अधिकतम चाल और त्वरण
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- ऊर्जा
- E = ½·k·A²
तरंगें और प्रकाशिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
- तरंग चाल
- v = fλ, T = 1/f
- डोरी
- v = √(T/μ), μ = m/L
- ध्वनि स्तर
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- बिंदु स्रोत
- I = P/(4πr²)
- अप्रगामी तरंगें
- डोरी या खुली नली fn = n·v/(2L); बंद नली fn = n·v/(4L), n विषम
- डॉप्लर प्रभाव
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- अपवर्तनांक
- n = c/v, λ = λ0/n
- स्नेल का नियम
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- क्रांतिक कोण
- sin θc = n2/n1
- प्रकाशिक तंतु
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- लेंस और दर्पण
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- द्वि-झिरी
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- झरझरी
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- एकल झिरी
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
विधि
- प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
- पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
- इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
- चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।
2अभ्यास प्रश्न
1.स्प्रिंग और लोलकमध्यम
k = 240 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 3.6 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 8 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 6 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।
m = 3.6 kgk = 240 N/mA = 8 cmx = 6 cm
v = m/s
2.स्प्रिंग और लोलककठिन
k = 100 N/m वाले स्प्रिंग पर एक द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 11 cm आयाम से दोलन करता है। द्रव्यमान के संतुलन से 10 cm पर होने पर स्प्रिंग में संचित ऊर्जा U ज्ञात कीजिए।
k = 100 N/mA = 11 cmx = 10 cm
U = J
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम
दोनों सिरों पर बँधी डोरी का संनादी संख्या 2 167 Hz पर होना चाहिए; उस पर तरंगें 200 m/s से चलती हैं। उसकी लंबाई L ज्ञात करें।
v = 200 m/sn = 2f2 = 167 Hz
L = m
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन
एक प्रकाशिक तंतु का क्रोड n₁ = 1.62 का है और आवरण n₂ = 1.61 का। तंतु अक्ष से वह अधिकतम कोण θa ज्ञात करें जिस पर हवा से आया प्रकाश तंतु के सिरे में प्रवेश कर पूर्ण आंतरिक परावर्तन द्वारा निर्देशित हो सके।
n1 = 1.62n2 = 1.61n0 = 1.00
θa = °
3विलयन
1.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: v = 0.432 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
कोणीय आवृत्ति
ω = √(240/3.6) = 8.165 rad/s
x पर चाल
v = ω·√(A² − x²) = 8.165·√(0.08² − 0.06²) = 0.432 m/s
उत्तर
v = 0.432 m/s
2.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: U = 0.5 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
कुल ऊर्जा
E = ½·k·A² = ½·100·0.11² = 0.605 J
x पर स्प्रिंग ऊर्जा
U = ½·k·x² = ½·100·0.1² = 0.5 J
उत्तर
U = 0.5 J
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: L = 1.198 m
अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, fn = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।
तरंगदैर्ध्य
λ = v/f = 200/167 = 1.198 m
लंबाई
L = nλ/2 = 2·1.198/2 = 1.198 m
उत्तर
L = 1.198 m
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: θa = 10.35 °
ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θc = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/do + 1/di का पालन करते हैं, आवर्धन m = −di/do के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए di > 0, आभासी के लिए di < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।
आवरण पर क्रांतिक कोण
sin θc = 1.61/1.62 = 0.9938 → θc = 83.63°
संख्यात्मक द्वारक
NA = √(1.62² − 1.61²) = 0.1797
स्वीकृति कोण
θa = arcsin(0.1797) = 10.35°
उत्तर
θa = 10.35°
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