स्प्रिंग और लोलक
- स्प्रिंग पर द्रव्यमान
- T = 2π·√(m/k)
- लोलक
- T = 2π·√(L/g)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = √(k/m) = 2π/T
- अधिकतम चाल और त्वरण
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- ऊर्जा
- E = ½·k·A²
तरंगें और प्रकाशिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
- तरंग चाल
- v = fλ, T = 1/f
- डोरी
- v = √(T/μ), μ = m/L
- ध्वनि स्तर
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- बिंदु स्रोत
- I = P/(4πr²)
- अप्रगामी तरंगें
- डोरी या खुली नली fn = n·v/(2L); बंद नली fn = n·v/(4L), n विषम
- डॉप्लर प्रभाव
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- अपवर्तनांक
- n = c/v, λ = λ0/n
- स्नेल का नियम
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- क्रांतिक कोण
- sin θc = n2/n1
- प्रकाशिक तंतु
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- लेंस और दर्पण
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- द्वि-झिरी
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- झरझरी
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- एकल झिरी
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
विधि
- प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
- पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
- इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
- चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।
2अभ्यास प्रश्न
1.स्प्रिंग और लोलकमध्यम
किसी अन्य ग्रह पर एक अंतरिक्ष यात्री पाता है कि 2 m लंबे सरल लोलक का छोटे दोलनों के लिए आवर्तकाल 4.61 s है। उस ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण g ज्ञात कीजिए।
L = 2 mT = 4.61 s
g = m/s²
2.स्प्रिंग और लोलककठिन
k = 290 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 0.6 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमान की अधिकतम चाल vmax ज्ञात कीजिए।
m = 0.6 kgk = 290 N/mg = 9.81 m/s²
vmax = m/s
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम
दोनों सिरों पर खुली नली 0.65 m लंबी है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। उसके संनादी संख्या 4 की आवृत्ति f4 ज्ञात करें।
v = 343 m/sn = 4L = 0.65 m
f4 = Hz
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन
650 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.08 mm चौड़ी एकल झिरी से गुज़रता है। 1.5 m दूर परदे पर केंद्रीय दीप्त उच्चिष्ठ की चौड़ाई w ज्ञात करें (दोनों ओर के पहले अदीप्त फ्रिंजों के बीच)।
λ = 650 nma = 0.08 mmL = 1.5 m
w = mm
3विलयन
1.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: g = 3.715 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
g के लिए हल करें
g = 4π²·L/T² = 4π²·2/4.61² = 3.715 m/s²
उत्तर
g = 3.715 m/s²
2.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: vmax = 0.4462 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
संतुलन और आयाम
x₀ = m·g/k = 0.6·9.81/290 = 0.0203 m = A
अधिकतम चाल
चाल संतुलन पर सबसे अधिक होती है।
ω = √(290/0.6) = 21.98 rad/s
vmax = A·ω = 0.0203·21.98 = 0.4462 m/s
उत्तर
vmax = 0.4462 m/s
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: f4 = 1055 Hz
अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, fn = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।
इस विधा की तरंगदैर्ध्य
λ = 2L/n = 2·0.65/4 = 0.325 m
आवृत्ति
f = v/λ = 343/0.325 = 1055 Hz
उत्तर
f4 = 1055 Hz
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: w = 24.37 mm
व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।
पहला अदीप्त फ्रिंज
y₁ = λL/a = 650 × 10⁻⁹·1.5/(0.08 × 10⁻³) = 12.19 mm
केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई
w = 2y₁ = 24.37 mm
उत्तर
w = 24.37 mm
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