स्प्रिंग और लोलक
- स्प्रिंग पर द्रव्यमान
- T = 2π·√(m/k)
- लोलक
- T = 2π·√(L/g)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = √(k/m) = 2π/T
- अधिकतम चाल और त्वरण
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- ऊर्जा
- E = ½·k·A²
तरंगें और प्रकाशिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
- तरंग चाल
- v = fλ, T = 1/f
- डोरी
- v = √(T/μ), μ = m/L
- ध्वनि स्तर
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- बिंदु स्रोत
- I = P/(4πr²)
- अप्रगामी तरंगें
- डोरी या खुली नली fn = n·v/(2L); बंद नली fn = n·v/(4L), n विषम
- डॉप्लर प्रभाव
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- अपवर्तनांक
- n = c/v, λ = λ0/n
- स्नेल का नियम
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- क्रांतिक कोण
- sin θc = n2/n1
- प्रकाशिक तंतु
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- लेंस और दर्पण
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- द्वि-झिरी
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- झरझरी
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- एकल झिरी
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
विधि
- प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
- पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
- इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
- चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।
2अभ्यास प्रश्न
1.स्प्रिंग और लोलकमध्यम
एक सरल लोलक की लंबाई 0.6 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।
L = 0.6 mg = 9.81 m/s²
T = s
2.स्प्रिंग और लोलककठिन
k = 80 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 2.7 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमान की अधिकतम चाल vmax ज्ञात कीजिए।
m = 2.7 kgk = 80 N/mg = 9.81 m/s²
vmax = m/s
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम
पारदर्शी ब्लॉक के भीतर प्रकाश हवा (n = 1.00) के साथ सीमा पर 30° से ऊपर हर आपतन कोण के लिए पूर्णतः परावर्तित होता है। ब्लॉक का अपवर्तनांक n1 ज्ञात करें।
θc = 30°n2 = 1.00
n1 =
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन
633 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 1200 रेखाएँ प्रति मिलीमीटर वाली झरझरी पर समकोण पर पड़ता है। कोटि-1 उच्चिष्ठ का कोण θ1 ज्ञात करें।
N = 1200 mm⁻¹λ = 633 nmm = 1
θ1 = °
3विलयन
1.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: T = 1.554 s
सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।
लोलक का आवर्तकाल
T = 2π·√(0.6/9.81) = 1.554 s
उत्तर
T = 1.554 s
2.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: vmax = 1.802 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
संतुलन और आयाम
x₀ = m·g/k = 2.7·9.81/80 = 0.3311 m = A
अधिकतम चाल
चाल संतुलन पर सबसे अधिक होती है।
ω = √(80/2.7) = 5.443 rad/s
vmax = A·ω = 0.3311·5.443 = 1.802 m/s
उत्तर
vmax = 1.802 m/s
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: n1 = 2
ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θc = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/do + 1/di का पालन करते हैं, आवर्धन m = −di/do के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए di > 0, आभासी के लिए di < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।
ब्लॉक का अपवर्तनांक
n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.5 = 2
उत्तर
n1 = 2
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: θ1 = 49.43 °
व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।
रेखा अंतराल
d = 1/1200 mm = 8.333 × 10⁻⁷ m
झरझरी समीकरण
sin θ = mλ/d = 1·633 × 10⁻⁹/(8.333 × 10⁻⁷) = 0.7596
θ = 49.43°
उत्तर
θ1 = 49.43°
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