तरंगें और प्रकाशिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान
T = 2π·√(m/k)
लोलक
T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति
ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण
vmax = A·ω, amax = A·ω²
ऊर्जा
E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल
v = fλ, T = 1/f
डोरी
v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत
I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें
डोरी या खुली नली fn = n·v/(2L); बंद नली fn = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
अपवर्तनांक
n = c/v, λ = λ0/n
स्नेल का नियम
n1sin θ1 = n2sin θ2
क्रांतिक कोण
sin θc = n2/n1
प्रकाशिक तंतु
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
लेंस और दर्पण
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
द्वि-झिरी
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
झरझरी
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
एकल झिरी
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

  1. प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
  2. पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
  3. इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
  4. चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.स्प्रिंग और लोलकमध्यम
L = 2.3 m

एक सरल लोलक की लंबाई 2.3 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 2.3 mg = 9.81 m/s²
T = s
2.स्प्रिंग और लोलककठिन
mk = 70 N/mA = 11 cmx = 1 cm

k = 70 N/m वाले स्प्रिंग पर एक द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 11 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 1 cm पर होने पर उसकी गतिज ऊर्जा K ज्ञात कीजिए।

k = 70 N/mA = 11 cmx = 1 cm
K = J
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम
65 dB?2 m10 m

एक छोटा स्रोत ध्वनि को सभी दिशाओं में समान रूप से भेजता है। उससे 2 m पर स्तर 65 dB है। अवशोषण और परावर्तन को अनदेखा करते हुए 10 m पर स्तर β2 ज्ञात करें।

β1 = 65 dBr1 = 2 mr2 = 10 m
β2 = dB
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन
SO5 m/sf = 40 kHz

स्थिर सेंसर 40 kHz की पराश्रव्य ध्वनि एक कार की ओर भेजता है जो 5 m/s से दूर जा रही है और प्रतिध्वनि को उत्सर्जित संकेत से मिलाता है। विस्पंद आवृत्ति fb ज्ञात करें (ध्वनि की चाल 343 m/s)।

f = 40 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3विलयन

1.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 3.042 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(2.3/9.81) = 3.042 s

उत्तर

T = 3.042 s
2.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: K = 0.42 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कुल ऊर्जा

E = ½·k·A² = ½·70·0.11² = 0.4235 J

x पर स्प्रिंग ऊर्जा

U = ½·k·x² = ½·70·0.01² = 0.0035 J

गतिज ऊर्जा

K = 0.4235 − 0.0035 = 0.42 J

उत्तर

K = 0.42 J
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: β2 = 51.02 dB

तरंगें: आवर्ती तरंग एक आवर्तकाल में एक तरंगदैर्ध्य चलती है, इसलिए v = fλ, जहाँ T = 1/f। तनी हुई डोरी पर v = √(T/μ), जहाँ T तनाव और μ = m/L प्रति मीटर द्रव्यमान है। 20 °C पर वायु में ध्वनि लगभग 343 m/s से चलती है, निर्वात में प्रकाश c = 3.00 × 10⁸ m/s से। प्रबलता लघुगणकीय पैमाने पर मापी जाती है: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, जहाँ I₀ = 10⁻¹² W/m², इसलिए तीव्रता 10 गुनी होने पर 10 dB जुड़ता है। बिंदु स्रोत अपनी शक्ति P को गोले पर फैलाता है: I = P/(4πr²)।

तीव्रता अनुपात

I₂/I₁ = (2/10)² = 0.04

नया स्तर

β₂ = 65 + 10·log₁₀(0.04) = 51.02 dB

उत्तर

β2 = 51.02 dB

दूरी का हर दोगुना होना स्तर को लगभग 6 dB घटाता है।

4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: fb = 1149 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, fn = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

कार पर आवृत्ति

f′ = 40000·(343 − 5)/343 = 39417 Hz

प्रतिध्वनि की आवृत्ति

f″ = f′·343/(343 + 5) = 38851 Hz

विस्पंद आवृत्ति

fb = |f″ − f| = 1149 Hz

उत्तर

fb = 1149 Hz

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