Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Apa artinya suatu masalah memiliki optimal substructure?

  1. ASolusi optimal dapat dibangun dari solusi optimal submasalahnya
  2. BMasalah itu memiliki tepat satu solusi optimal, yang dimiliki bersama oleh setiap submasalah
  3. CMasalah itu dapat diselesaikan dalam waktu konstan
  4. DSetiap submasalah memiliki ukuran yang sama
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Definisi kelas NP manakah yang benar?

  1. AMasalah yang tidak polinomial
  2. BMasalah yang tidak dapat diselesaikan algoritma apa pun
  3. CMasalah yang tidak dapat diselesaikan dalam waktu polinomial
  4. DMasalah keputusan yang jawaban "ya"-nya dapat diverifikasi dalam waktu polinomial jika diberi sertifikat
3.Struktur dataSedang

Berapakah kompleksitas waktu untuk mencari sebuah kunci dalam binary search tree yang seimbang?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
4.Struktur dataSulit

Pernyataan mana tentang heapsort yang benar?

  1. AHeapsort berjalan dalam waktu O(n) pada input apa pun
  2. BHeapsort stabil dan memerlukan memori tambahan O(n)
  3. CHeapsort mengurutkan di tempat dalam waktu kasus terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil
  4. DMemerlukan binary search tree sebagai penyimpanan tambahan, sehingga memakai memori tambahan O(n)
5.Teori grafSedang

Sebuah pohon memiliki 4 simpul berderajat 3, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?

4 × deg 3
L =
6.Teori grafSulit
13981345156ABCDEF

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(D) lintasan terpendek dari A ke D pada graf berbobot.

awal: Aakhir: D
d(D) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: A · Solusi optimal dapat dibangun dari solusi optimal submasalahnya

Mengapa ini jawabannya

Optimal substructure diperlukan agar algoritma greedy maupun dynamic programming menghasilkan jawaban yang benar.

Jawaban

A · Solusi optimal dapat dibangun dari solusi optimal submasalahnya
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Masalah keputusan yang jawaban "ya"-nya dapat diverifikasi dalam waktu polinomial jika diberi sertifikat

Mengapa ini jawabannya

Untuk masalah NP, solusi yang diajukan (sertifikat) dapat diperiksa dengan cepat, misalnya memverifikasi bahwa suatu penugasan nilai memenuhi formula Boolean.

Jawaban

D · Masalah keputusan yang jawaban "ya"-nya dapat diverifikasi dalam waktu polinomial jika diberi sertifikat
3.Struktur data

Jawaban: D · O(log n)

Mengapa ini jawabannya

Pohon seimbang memiliki tinggi sekitar log₂ n, sehingga pencarian mengikuti satu jalur dari akar ke daun.

Jawaban

D · O(log n)
4.Struktur data

Jawaban: C · Heapsort mengurutkan di tempat dalam waktu kasus terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil

Mengapa ini jawabannya

Heapsort membangun max-heap dan mengekstraksi maksimum n kali di dalam array yang sama; penukaran jarak jauh dapat mengubah urutan kunci yang sama.

Jawaban

C · Heapsort mengurutkan di tempat dalam waktu kasus terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil
5.Teori graf

Jawaban: L = 6

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Lema jabat tangan untuk pohon

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

Jawaban

L = 6

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawaban: d(D) = 23

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 13, C: 9
C (9)
B (13): D: 26, E: 19
E (19): D: 23, F: 34
D (23): F: 28
F (28)

Lintasan terpendek

A → B → E → D
d(D) = 23

Jawaban

d(D) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms