Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Sebuah fungsi menjalankan satu loop berisi n iterasi, lalu secara terpisah satu loop lain berisi n iterasi. Berapa kompleksitas waktunya?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Algoritma dynamic programming Held–Karp menyelesaikan travelling salesman problem secara eksak. Berapa waktu eksekusinya untuk n kota?

  1. AO(2n²)
  2. BO(n!)
  3. CO(n² 2ⁿ)
  4. DO(n³)
3.Struktur dataSedang

Pohon AVL dan pohon red-black menjamin:

  1. AKunci disimpan sesuai urutan penyisipan
  2. BPencarian dalam waktu konstan pada setiap kasus
  3. CTinggi O(log n) melalui penyeimbangan ulang
  4. DTidak ada node yang memiliki dua anak
4.Struktur dataSulit

Berapa waktu eksekusi breadth-first search pada graf dengan V simpul yang disimpan sebagai adjacency matrix?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V)
5.Teori grafSedang

Sebuah pohon memiliki 4 simpul berderajat 4, 3 simpul berderajat 5, 3 simpul berderajat 2, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?

4 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teori grafSulit
78111131187ABCDEF

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: B · O(n)

Mengapa ini jawabannya

n + n = 2n, dan faktor konstan dibuang, sehingga fungsinya O(n).

Jawaban

B · O(n)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · O(n² 2ⁿ)

Mengapa ini jawabannya

Ada sekitar n 2ⁿ state, masing-masing dihitung dalam O(n); ini eksponensial tetapi jauh lebih cepat daripada mencoba semua (n − 1)! tur.

Jawaban

C · O(n² 2ⁿ)
3.Struktur data

Jawaban: C · Tinggi O(log n) melalui penyeimbangan ulang

Mengapa ini jawabannya

Pohon yang menyeimbangkan diri menjaga tinggi tetap logaritmik, sehingga pencarian, penyisipan, dan penghapusan bernilai O(log n) pada kasus terburuk.

Jawaban

C · Tinggi O(log n) melalui penyeimbangan ulang
4.Struktur data

Jawaban: C · O(V²)

Mengapa ini jawabannya

Setiap V simpul memindai satu baris berisi V entri, sehingga hasilnya O(V²); dengan adjacency list, BFS adalah O(V + E).

Jawaban

C · O(V²)
5.Teori graf

Jawaban: L = 19

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Lema jabat tangan untuk pohon

L + 37 = 2(L + 10) − 2
L = 19

Jawaban

L = 19

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 22

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 7, C: 8
B (7): D: 8, E: 14
C (8)
D (8)
E (14): F: 22
F (22)

Lintasan terpendek

A → B → E → F
d(F) = 22

Jawaban

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms