Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Batas bawah untuk pengurutan berbasis perbandingan pada kasus terburuk adalah:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(log n)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Manakah dari masalah satisfiability berikut yang diketahui dapat diselesaikan dalam waktu polinomial?

  1. ACircuit satisfiability
  2. BSAT umum pada formula dalam bentuk normal konjungtif
  3. C2-SAT, dengan setiap klausa berisi paling banyak dua literal
  4. D3-SAT, dengan setiap klausa berisi tepat tiga literal
3.Struktur dataSedang

Bagaimana cara kerja extract-min pada binary min-heap?

  1. AHapus elemen terakhir array
  2. BPindahkan elemen terakhir ke root dan geser ke bawah (sift down)
  3. CCari minimum baru di semua daun
  4. DHapus root dan geser semua elemen satu tempat ke kiri
4.Struktur dataSulit

Segment tree biasanya digunakan untuk:

  1. AMengimplementasikan stack
  2. BMenyimpan sisi-sisi graf
  3. CMengurutkan string secara alfabetis dengan menyimpan setiap prefiks di node pohon yang terpisah
  4. DMenjawab kueri rentang (misalnya jumlah rentang) dan pembaruan dalam O(log n)
5.Teori grafSedang

Sebuah graf terhubung memiliki 10 simpul dan 12 sisi. Berapa sisi k yang harus dihapus agar tersisa pohon rentang?

|V| = 10|E| = 12
k =
6.Teori grafSulit
41027811310ABCDEF

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(C) lintasan terpendek dari A ke C pada graf berbobot.

awal: Aakhir: C
d(C) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: B · Ω(n log n)

Mengapa ini jawabannya

Setiap pengurutan berbasis perbandingan memerlukan setidaknya log₂(n!) ≈ n log n perbandingan pada kasus terburuk. Counting sort dapat mengunggulinya karena tidak melakukan perbandingan.

Jawaban

B · Ω(n log n)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · 2-SAT, dengan setiap klausa berisi paling banyak dua literal

Mengapa ini jawabannya

2-SAT berada di P (waktu linear melalui komponen terhubung kuat), sedangkan 3-SAT adalah NP-complete.

Jawaban

C · 2-SAT, dengan setiap klausa berisi paling banyak dua literal
3.Struktur data

Jawaban: B · Pindahkan elemen terakhir ke root dan geser ke bawah (sift down)

Mengapa ini jawabannya

Elemen terakhir mengisi lubang di root dan ditukar dengan anak yang lebih kecil sampai sifat heap terpenuhi, dalam O(log n).

Jawaban

B · Pindahkan elemen terakhir ke root dan geser ke bawah (sift down)
4.Struktur data

Jawaban: D · Menjawab kueri rentang (misalnya jumlah rentang) dan pembaruan dalam O(log n)

Mengapa ini jawabannya

Segment tree menyimpan nilai agregat untuk interval, sehingga mendukung kueri rentang dan pembaruan titik dalam waktu O(log n).

Jawaban

D · Menjawab kueri rentang (misalnya jumlah rentang) dan pembaruan dalam O(log n)
5.Teori graf

Jawaban: k = 3

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Sisi pohon rentang

10 − 1 = 9

Sisi yang dihapus

k = 12 − 9 = 3

Jawaban

k = 3
6.Teori graf

Jawaban: d(C) = 6

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 4, C: 10
B (4): C: 6, D: 11, E: 14
C (6)
D (11)
E (14): F: 17
F (17)

Lintasan terpendek

A → B → C
d(C) = 6

Jawaban

d(C) = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms