Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Pemrograman dinamis (dynamic programming) berguna ketika suatu masalah memiliki:

  1. ASatu loop saja
  2. BTidak ada submasalah sama sekali, sehingga dapat diselesaikan dalam satu langkah
  3. CHanya input acak
  4. DSubmasalah yang tumpang tindih dan substruktur optimal
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Masalah penghentian (halting problem) menunjukkan bahwa:

  1. ATidak ada algoritma yang dapat memutuskan untuk setiap program dan input apakah program tersebut akan berhenti
  2. BBeberapa program berjalan lebih cepat di komputer yang lebih cepat, sehingga berhenti atau tidaknya bergantung pada perangkat keras
  3. CSetiap program pada akhirnya akan berhenti
  4. DLoop sebaiknya dihindari
3.Struktur dataSedang

Sebuah hash table berukuran 7 memakai h(k) = k mod 7 dan linear probing. Setelah menyisipkan 10, di mana 17 disimpan?

  1. AIndeks 4
  2. BIndeks 6
  3. CIndeks 3
  4. DIndeks 0
4.Struktur dataSulit

Berapa waktu eksekusi breadth-first search pada graf dengan V simpul yang disimpan sebagai adjacency matrix?

  1. AO(V)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
5.Teori grafSedang

Sebuah graf terhubung memiliki 10 simpul dan 21 sisi. Berapa sisi k yang harus dihapus agar tersisa pohon rentang?

|V| = 10|E| = 21
k =
6.Teori grafSulit
11883997212143ABCDEFG

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Submasalah yang tumpang tindih dan substruktur optimal

Mengapa ini jawabannya

Menyimpan hasil submasalah yang tumpang tindih (memoisasi atau tabulasi) menghindari pekerjaan berulang, sehingga algoritma eksponensial menjadi polinomial.

Jawaban

D · Submasalah yang tumpang tindih dan substruktur optimal
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: A · Tidak ada algoritma yang dapat memutuskan untuk setiap program dan input apakah program tersebut akan berhenti

Mengapa ini jawabannya

Turing menunjukkan bahwa halting problem tidak dapat diputuskan (undecidable): mengasumsikan adanya algoritma pemutus menimbulkan kontradiksi dengan program yang melakukan hal sebaliknya.

Jawaban

A · Tidak ada algoritma yang dapat memutuskan untuk setiap program dan input apakah program tersebut akan berhenti
3.Struktur data

Jawaban: A · Indeks 4

Mengapa ini jawabannya

10 mod 7 = 3 dan 17 mod 7 = 3; indeks 3 sudah terisi, sehingga linear probing mencoba slot berikutnya, indeks 4.

Jawaban

A · Indeks 4
4.Struktur data

Jawaban: C · O(V²)

Mengapa ini jawabannya

Setiap V simpul memindai satu baris berisi V entri, sehingga hasilnya O(V²); dengan adjacency list, BFS adalah O(V + E).

Jawaban

C · O(V²)
5.Teori graf

Jawaban: k = 12

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Sisi pohon rentang

10 − 1 = 9

Sisi yang dihapus

k = 21 − 9 = 12

Jawaban

k = 12
6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 18

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 11, C: 8
C (8): E: 11, G: 20
B (11): G: 13
E (11): D: 20, F: 18
G (13)
F (18)
D (20)

Lintasan terpendek

A → C → E → F
d(F) = 18

Jawaban

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms