Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Pemrograman dinamis (dynamic programming) berguna ketika suatu masalah memiliki:

  1. AHanya input acak
  2. BSatu loop saja
  3. CSubmasalah yang tumpang tindih dan substruktur optimal
  4. DTidak ada submasalah sama sekali, sehingga dapat diselesaikan dalam satu langkah
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Rekurens T(n) = 2T(n/2) + n log n menghasilkan apa?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log² n)
3.Struktur dataSedang

Sebuah node dalam binary search tree memiliki subpohon kanan. Di mana in-order successor-nya?

  1. ASelalu induknya
  2. BSelalu anak kanannya
  3. CNode paling kiri di subpohon kanannya
  4. DNode paling kanan di subpohon kirinya
4.Struktur dataSulit

Fenwick tree (binary indexed tree) atas array berisi n bilangan mendukung operasi apa dalam O(log n)?

  1. AMenyisipkan elemen di posisi mana pun
  2. BMengurutkan array dan binary search
  3. CKueri prefix sum dan pembaruan satu elemen
  4. DMencari median dalam O(1)
5.Teori grafSedang

Sebuah graf terhubung memiliki 6 simpul dan 12 sisi. Berapa sisi k yang harus dihapus agar tersisa pohon rentang?

|V| = 6|E| = 12
k =
6.Teori grafSulit
1115126727839ABCDEFG

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(E) lintasan terpendek dari A ke E pada graf berbobot.

awal: Aakhir: E
d(E) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · Submasalah yang tumpang tindih dan substruktur optimal

Mengapa ini jawabannya

Menyimpan hasil submasalah yang tumpang tindih (memoisasi atau tabulasi) menghindari pekerjaan berulang, sehingga algoritma eksponensial menjadi polinomial.

Jawaban

C · Submasalah yang tumpang tindih dan substruktur optimal
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Θ(n log² n)

Mengapa ini jawabannya

Tingkat k melakukan kerja sekitar n log(n / 2ᵏ), dan menjumlahkannya atas log n tingkat menghasilkan Θ(n log² n), kasus kedua yang diperluas dari master theorem.

Jawaban

D · Θ(n log² n)
3.Struktur data

Jawaban: C · Node paling kiri di subpohon kanannya

Mengapa ini jawabannya

Semua kunci yang lebih besar yang dekat dengan node berada di subpohon kanannya, dan yang terkecil di antaranya adalah node paling kiri di sana.

Jawaban

C · Node paling kiri di subpohon kanannya
4.Struktur data

Jawaban: C · Kueri prefix sum dan pembaruan satu elemen

Mengapa ini jawabannya

Fenwick tree menyimpan jumlah parsial atas rentang yang ditentukan oleh bit-bit rendah setiap indeks, sehingga prefix sum maupun pembaruan titik memerlukan O(log n).

Jawaban

C · Kueri prefix sum dan pembaruan satu elemen
5.Teori graf

Jawaban: k = 7

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Sisi pohon rentang

6 − 1 = 5

Sisi yang dihapus

k = 12 − 5 = 7

Jawaban

k = 7
6.Teori graf

Jawaban: d(E) = 7

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 1, C: 1
B (1): D: 13, G: 8
C (1): E: 7
E (7): F: 9
G (8): D: 11
F (9)
D (11)

Lintasan terpendek

A → C → E
d(E) = 7

Jawaban

d(E) = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms