Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Bagaimana algoritma Prim membangun minimum spanning tree?

  1. AMenghapus sisi termahal sampai tidak ada siklus tersisa
  2. BMenumbuhkan satu pohon dari simpul awal, setiap kali menambahkan sisi termurah yang keluar dari pohon
  3. CMenjalankan breadth-first search dan menyimpan pohon BFS
  4. DMengurutkan semua sisi berdasarkan bobot dan menambahkan masing-masing kecuali jika membentuk siklus dalam hutan
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Untuk menunjukkan bahwa masalah baru X adalah NP-hard, apa yang harus Anda lakukan?

  1. AMereduksi X ke masalah NP-hard yang sudah dikenal dalam waktu polinomial
  2. BMenunjukkan bahwa X dapat diverifikasi dalam waktu polinomial
  3. CMenunjukkan bahwa X tidak memiliki algoritma polinomial untuk input kecil
  4. DMereduksi masalah NP-hard yang sudah dikenal ke X dalam waktu polinomial
3.Struktur dataSedang

Sebuah hash table berukuran 7 memakai h(k) = k mod 7 dan linear probing. Setelah menyisipkan 10, di mana 17 disimpan?

  1. AIndeks 3
  2. BIndeks 6
  3. CIndeks 4
  4. DIndeks 0
4.Struktur dataSulit

Berapa lama waktu untuk mencari kunci sembarang dalam binary min-heap berisi n elemen?

  1. AO(log log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.Teori grafSedang

Sebuah pohon memiliki 4 simpul berderajat 5, 4 simpul berderajat 2, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?

4 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teori grafSulit
1210581166311ABCDEFG

Algoritma Dijkstra berjalan dari A. Klik simpul yang ditetapkan (dijadikan permanen) pada putaran 5; A sendiri adalah putaran 1.

awal: Aputaran 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: B · Menumbuhkan satu pohon dari simpul awal, setiap kali menambahkan sisi termurah yang keluar dari pohon

Mengapa ini jawabannya

Algoritma Prim, dengan priority queue berisi sisi penyeberang, berjalan dalam O(E log V) dengan binary heap.

Jawaban

B · Menumbuhkan satu pohon dari simpul awal, setiap kali menambahkan sisi termurah yang keluar dari pohon
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Mereduksi masalah NP-hard yang sudah dikenal ke X dalam waktu polinomial

Mengapa ini jawabannya

Jika masalah sulit yang sudah dikenal dapat diubah menjadi X secara efisien, algoritma cepat untuk X juga akan menyelesaikan masalah yang dikenal itu.

Jawaban

D · Mereduksi masalah NP-hard yang sudah dikenal ke X dalam waktu polinomial
3.Struktur data

Jawaban: C · Indeks 4

Mengapa ini jawabannya

10 mod 7 = 3 dan 17 mod 7 = 3; indeks 3 sudah terisi, sehingga linear probing mencoba slot berikutnya, indeks 4.

Jawaban

C · Indeks 4
4.Struktur data

Jawaban: C · O(n)

Mengapa ini jawabannya

Heap tidak memberikan aturan subpohon mana yang berisi suatu kunci, sehingga pada kasus terburuk semua node harus diperiksa; hanya minimum yang cepat ditemukan.

Jawaban

C · O(n)
5.Teori graf

Jawaban: L = 14

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Lema jabat tangan untuk pohon

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

Jawaban

L = 14

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawaban: G

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

1. A (0): B: 1, C: 2
2. B (1): D: 6, G: 7
3. C (2): E: 10
4. D (6)
5. G (7)
6. E (10): F: 16
7. F (16)

putaran 5

G

Jawaban

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms