Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Apakah benar mengatakan bahwa algoritma O(n²) juga O(n³)?

  1. ATidak, karena Big O harus selalu menyatakan laju pertumbuhan yang tepat dari fungsi itu
  2. BYa, karena Big O adalah batas atas dan n² tidak tumbuh lebih cepat daripada n³
  3. CYa, tetapi hanya jika n lebih kecil dari 100
  4. DTidak, karena n³ lebih kecil daripada n² untuk n besar
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Mengapa algoritma Dijkstra dapat memberikan hasil yang salah ketika sebagian bobot sisi negatif?

  1. AAlgoritma itu hanya bekerja pada graf tak berarah
  2. BBilangan negatif tidak dapat disimpan dalam priority queue
  3. CAlgoritma itu masuk ke loop tak hingga pada setiap sisi negatif
  4. DSimpul ditetapkan final saat diekstraksi, tetapi sisi negatif berikutnya masih dapat memberinya lintasan yang lebih pendek
3.Struktur dataSedang

Kunci 50, 30, 70, 20, 40 disisipkan berurutan ke binary search tree kosong. Apa anak kiri dari 30?

  1. A50
  2. B70
  3. C40
  4. D20
4.Struktur dataSulit

Berapa biaya waktu dan ruang tambahan untuk membalik singly linked list di tempat (in place)?

  1. AWaktu O(n) dan ruang tambahan O(n)
  2. BWaktu O(1) dan ruang tambahan O(1)
  3. CWaktu O(n log n) dan ruang tambahan O(1)
  4. DWaktu O(n) dan ruang tambahan O(1)
5.Teori grafSedang

Ada berapa sirkuit Hamilton H yang berbeda pada graf lengkap K4? Sirkuit yang hanya berbeda dalam simpul awal atau arahnya dianggap sama.

K4
H =
6.Teori grafSulit
521351399ABCDEF

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: B · Ya, karena Big O adalah batas atas dan n² tidak tumbuh lebih cepat daripada n³

Mengapa ini jawabannya

Big O adalah batas atas, sehingga pernyataan itu benar tetapi tidak ketat; Θ(n²) menyatakan laju pertumbuhan yang tepat.

Jawaban

B · Ya, karena Big O adalah batas atas dan n² tidak tumbuh lebih cepat daripada n³
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Simpul ditetapkan final saat diekstraksi, tetapi sisi negatif berikutnya masih dapat memberinya lintasan yang lebih pendek

Mengapa ini jawabannya

Langkah greedy bergantung pada bobot nonnegatif agar jarak yang diekstraksi bersifat final; Bellman–Ford dipakai ketika bobot mungkin negatif.

Jawaban

D · Simpul ditetapkan final saat diekstraksi, tetapi sisi negatif berikutnya masih dapat memberinya lintasan yang lebih pendek
3.Struktur data

Jawaban: D · 20

Mengapa ini jawabannya

20 lebih kecil daripada 50 dan lebih kecil daripada 30, sehingga menjadi anak kiri 30; 40 menjadi anak kanannya.

Jawaban

D · 20
4.Struktur data

Jawaban: D · Waktu O(n) dan ruang tambahan O(1)

Mengapa ini jawabannya

Menyimpan tiga pointer (previous, current, next) memungkinkan Anda membalik setiap tautan dalam satu kali penelusuran tanpa mengalokasikan node baru.

Jawaban

D · Waktu O(n) dan ruang tambahan O(1)
5.Teori graf

Jawaban: H = 3

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Hitung

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Jawaban

H = 3
6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 15

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 5, C: 2
C (2): E: 3
E (3): D: 6
B (5)
D (6): F: 15
F (15)

Lintasan terpendek

A → C → E → D → F
d(F) = 15

Jawaban

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms