Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Bagaimana algoritma Prim membangun minimum spanning tree?

  1. AMenjalankan breadth-first search dan menyimpan pohon BFS
  2. BMenumbuhkan satu pohon dari simpul awal, setiap kali menambahkan sisi termurah yang keluar dari pohon
  3. CMenghapus sisi termahal sampai tidak ada siklus tersisa
  4. DMengurutkan semua sisi berdasarkan bobot dan menambahkan masing-masing kecuali jika membentuk siklus dalam hutan
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Masalah penghentian (halting problem) menunjukkan bahwa:

  1. ASetiap program pada akhirnya akan berhenti
  2. BBeberapa program berjalan lebih cepat di komputer yang lebih cepat, sehingga berhenti atau tidaknya bergantung pada perangkat keras
  3. CLoop sebaiknya dihindari
  4. DTidak ada algoritma yang dapat memutuskan untuk setiap program dan input apakah program tersebut akan berhenti
3.Struktur dataSedang

Bagaimana cara kerja extract-min pada binary min-heap?

  1. APindahkan elemen terakhir ke root dan geser ke bawah (sift down)
  2. BHapus root dan geser semua elemen satu tempat ke kiri
  3. CCari minimum baru di semua daun
  4. DHapus elemen terakhir array
4.Struktur dataSulit

Pada BST dengan root 50, subpohon kiri 30 (anak 20, 40) dan subpohon kanan 70 (anak 60, 80), root dihapus memakai in-order successor. Kunci mana yang menjadi root baru?

  1. A80
  2. B60
  3. C70
  4. D40
5.Teori grafSedang

Ada berapa sirkuit Hamilton H yang berbeda pada graf lengkap K6? Sirkuit yang hanya berbeda dalam simpul awal atau arahnya dianggap sama.

K6
H =
6.Teori grafSulit
ABCDE

Ada berapa jalan tertutup dengan panjang 2 yang dimulai dan berakhir di B? Jalan boleh mengulang simpul dan sisi. Sebut bilangan ini N.

M = matriks ketetanggaanL = 2
N =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: B · Menumbuhkan satu pohon dari simpul awal, setiap kali menambahkan sisi termurah yang keluar dari pohon

Mengapa ini jawabannya

Algoritma Prim, dengan priority queue berisi sisi penyeberang, berjalan dalam O(E log V) dengan binary heap.

Jawaban

B · Menumbuhkan satu pohon dari simpul awal, setiap kali menambahkan sisi termurah yang keluar dari pohon
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Tidak ada algoritma yang dapat memutuskan untuk setiap program dan input apakah program tersebut akan berhenti

Mengapa ini jawabannya

Turing menunjukkan bahwa halting problem tidak dapat diputuskan (undecidable): mengasumsikan adanya algoritma pemutus menimbulkan kontradiksi dengan program yang melakukan hal sebaliknya.

Jawaban

D · Tidak ada algoritma yang dapat memutuskan untuk setiap program dan input apakah program tersebut akan berhenti
3.Struktur data

Jawaban: A · Pindahkan elemen terakhir ke root dan geser ke bawah (sift down)

Mengapa ini jawabannya

Elemen terakhir mengisi lubang di root dan ditukar dengan anak yang lebih kecil sampai sifat heap terpenuhi, dalam O(log n).

Jawaban

A · Pindahkan elemen terakhir ke root dan geser ke bawah (sift down)
4.Struktur data

Jawaban: B · 60

Mengapa ini jawabannya

Node paling kiri di subpohon kanan adalah 60, sehingga 60 menggantikan 50 dan posisi lamanya dihapus; memakai predecessor akan menghasilkan 40.

Jawaban

B · 60
5.Teori graf

Jawaban: H = 60

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Hitung

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Jawaban

H = 60
6.Teori graf

Jawaban: N = 4

Derajat: derajat suatu simpul adalah banyaknya sisi yang bertemu di simpul itu. Setiap sisi memiliki dua ujung, jadi jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Karena itu banyaknya simpul berderajat ganjil selalu genap. Kn memiliki n(n − 1)/2 sisi, graf beraturan-k dengan n simpul memiliki nk/2, dan pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Matriks ketetanggaan

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Tetangga bersama

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

Jawaban

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms