Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Kompleksitas waktu Fibonacci rekursif naif (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) adalah:

  1. AEksponensial
  2. BLogaritmik
  3. CKonstan
  4. DLinear
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Apa perbedaan antara masalah undecidable dan masalah intractable?

  1. AKeduanya berarti masalah itu sama sekali tidak memiliki algoritma
  2. BMasalah intractable tidak dapat diselesaikan oleh algoritma apa pun, sedangkan masalah undecidable hanya memerlukan waktu eksponensial
  3. CMasalah undecidable berada di NP, sedangkan masalah intractable di P
  4. DTidak ada algoritma yang menyelesaikan masalah undecidable untuk semua input, sedangkan masalah intractable dapat diselesaikan tetapi terlalu lambat
3.Struktur dataSedang

Syarat keseimbangan apa yang dijaga AVL tree di setiap node?

  1. ATinggi subpohon kiri dan kanan berbeda paling banyak 1
  2. BSemua daun berada pada kedalaman yang persis sama
  3. CSetiap node diberi warna merah atau hitam
  4. DKedua subpohon dari setiap node berisi jumlah node yang persis sama
4.Struktur dataSulit

Struktur union-find (disjoint set) dengan union by rank dan path compression memiliki biaya teramortisasi per operasi sebesar:

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CTepat O(log n)
  4. DO(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan
5.Teori grafSedang

Ada berapa sirkuit Hamilton H yang berbeda pada graf lengkap K5? Sirkuit yang hanya berbeda dalam simpul awal atau arahnya dianggap sama.

K5
H =
6.Teori grafSulit
7218141931361112ABCDEFG

Carilah total bobot W pohon rentang minimum dari graf berbobot ini.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: A · Eksponensial

Mengapa ini jawabannya

Pohon pemanggilan tumbuh kira-kira seperti φⁿ (sekitar 1,618ⁿ). Memoisasi menguranginya menjadi O(n).

Jawaban

A · Eksponensial
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Tidak ada algoritma yang menyelesaikan masalah undecidable untuk semua input, sedangkan masalah intractable dapat diselesaikan tetapi terlalu lambat

Mengapa ini jawabannya

Halting problem sama sekali tidak memiliki algoritma; masalah NP-hard seperti TSP dapat diselesaikan dengan brute force, hanya saja tidak dalam waktu polinomial yang diketahui.

Jawaban

D · Tidak ada algoritma yang menyelesaikan masalah undecidable untuk semua input, sedangkan masalah intractable dapat diselesaikan tetapi terlalu lambat
3.Struktur data

Jawaban: A · Tinggi subpohon kiri dan kanan berbeda paling banyak 1

Mengapa ini jawabannya

Balance factor (tinggi kiri − tinggi kanan) harus −1, 0, atau 1; rotasi memulihkannya setelah penyisipan dan penghapusan.

Jawaban

A · Tinggi subpohon kiri dan kanan berbeda paling banyak 1
4.Struktur data

Jawaban: D · O(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan

Mengapa ini jawabannya

Dengan kedua optimasi tersebut, operasi membutuhkan waktu teramortisasi O(α(n)); α(n) ≤ 4 untuk setiap n yang realistis.

Jawaban

D · O(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan
5.Teori graf

Jawaban: H = 12

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Hitung

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Jawaban

H = 12
6.Teori graf

Jawaban: W = 43

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

AC (2): ambil
DF (3): ambil
GB (6): ambil
AB (7): ambil
GC (11): lewati, membentuk siklus
GE (12): ambil
EF (13): ambil

Total bobot

W = 2 + 3 + 6 + 7 + 12 + 13 = 43

Jawaban

W = 43

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms