Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf beraturan: |E| = n·k/2
Pohon dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di K_n: (n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L: (Mᴸ)_ij

Metode

Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Breadth-first search (BFS) pada graf tak berbobot menemukan:

ALintasan terpendek berdasarkan jumlah sisi dari simpul awal
BUrutan topologis pada semua graf
CLintasan terpendek pada graf yang memiliki bobot sisi negatif
DPohon rentang minimum

2.Algoritma & kompleksitasSulit

Apa akibatnya jika seseorang menemukan algoritma waktu polinomial untuk satu masalah NP-complete?

ASetiap masalah di NP dapat diselesaikan dalam waktu polinomial, sehingga P = NP
BSemua algoritma berwaktu eksponensial seketika berjalan dalam waktu linear
CHanya masalah itu yang pindah ke P
DHalting problem menjadi decidable

3.Struktur dataSedang

Bagaimana cara kerja extract-min pada binary min-heap?

APindahkan elemen terakhir ke root dan geser ke bawah (sift down)
BHapus root dan geser semua elemen satu tempat ke kiri
CHapus elemen terakhir array
DCari minimum baru di semua daun

4.Struktur dataSulit

Untuk setiap elemen array Anda ingin mencari elemen berikutnya yang lebih besar di sebelah kanannya, dalam total waktu O(n). Struktur apa yang membantu?

AQueue yang menampung setiap pasangan elemen
BStack yang menyimpan elemen-elemen yang menunggu jawabannya
CBinary search tree yang dibangun ulang untuk setiap elemen
DHash table berisi semua elemen

5.Teori grafSedang

Apakah graf terhubung ini memiliki sirkuit Euler, lintasan Euler yang bukan sirkuit, atau bukan keduanya? Klik jawaban Anda.

|V| = 7|E| = 8

1Sirkuit Euler
2Lintasan Euler, bukan sirkuit
3bukan keduanya

6.Teori grafSulit

Algoritma Dijkstra berjalan dari A. Klik simpul yang ditetapkan (dijadikan permanen) pada putaran 5; A sendiri adalah putaran 1.

awal: Aputaran 5

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: A · Lintasan terpendek berdasarkan jumlah sisi dari simpul awal

Mengapa ini jawabannya

BFS mengunjungi simpul berdasarkan urutan jarak (jumlah sisi) dari sumber, sehingga menemukan lintasan terpendek tak berbobot dalam O(V + E).

Jawaban

A · Lintasan terpendek berdasarkan jumlah sisi dari simpul awal

2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: A · Setiap masalah di NP dapat diselesaikan dalam waktu polinomial, sehingga P = NP

Mengapa ini jawabannya

Karena seluruh NP dapat direduksi ke masalah NP-complete mana pun dalam waktu polinomial, algoritma cepat untuk satu masalah memberikan algoritma cepat untuk semuanya.

Jawaban

A · Setiap masalah di NP dapat diselesaikan dalam waktu polinomial, sehingga P = NP

3.Struktur data

Jawaban: A · Pindahkan elemen terakhir ke root dan geser ke bawah (sift down)

Mengapa ini jawabannya

Elemen terakhir mengisi lubang di root dan ditukar dengan anak yang lebih kecil sampai sifat heap terpenuhi, dalam O(log n).

Jawaban

A · Pindahkan elemen terakhir ke root dan geser ke bawah (sift down)

4.Struktur data

Jawaban: B · Stack yang menyimpan elemen-elemen yang menunggu jawabannya

Mengapa ini jawabannya

Memindai dari kiri ke kanan, pop setiap elemen di stack yang lebih kecil daripada elemen saat ini (elemen saat ini adalah jawabannya), lalu push elemen itu; setiap elemen paling banyak berpindah dua kali.

Jawaban

B · Stack yang menyimpan elemen-elemen yang menunggu jawabannya

5.Teori graf

Jawaban: Lintasan Euler, bukan sirkuit

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; K_n memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Derajat

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Simpul ganjil

C, F → 2

Lintasan Euler, bukan sirkuit

Jawaban

Lintasan Euler, bukan sirkuit

Lintasan Euler dimulai di satu simpul ganjil dan berakhir di simpul ganjil lainnya.

6.Teori graf

Jawaban: E

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

1. A (0): B: 11, C: 5

2. C (5): E: 12, G: 10

3. G (10): D: 15

4. B (11)

5. E (12): F: 13

6. F (13)

7. D (15)

putaran 5

Jawaban

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms