Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Apakah benar mengatakan bahwa algoritma O(n²) juga O(n³)?

  1. ATidak, karena n³ lebih kecil daripada n² untuk n besar
  2. BYa, tetapi hanya jika n lebih kecil dari 100
  3. CYa, karena Big O adalah batas atas dan n² tidak tumbuh lebih cepat daripada n³
  4. DTidak, karena Big O harus selalu menyatakan laju pertumbuhan yang tepat dari fungsi itu
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Rekurens T(n) = 2T(n/2) + n log n menghasilkan apa?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n)
3.Struktur dataSedang

Dalam binary heap yang disimpan dalam array mulai dari indeks 0, di mana induk dari node pada indeks i?

  1. APada indeks ⌊i / 2⌋ + 1
  2. BPada indeks 2i + 1
  3. CPada indeks ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DPada indeks i − 1
4.Struktur dataSulit

Kompleksitas waktu decrease-key pada binary heap (jika posisi elemen diketahui) adalah:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Teori grafSedang

Sebuah pohon memiliki 3 simpul berderajat 4, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?

3 × deg 4
L =
6.Teori grafSulit
871161815611ABCDEF

Carilah total bobot W pohon rentang minimum dari graf berbobot ini.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · Ya, karena Big O adalah batas atas dan n² tidak tumbuh lebih cepat daripada n³

Mengapa ini jawabannya

Big O adalah batas atas, sehingga pernyataan itu benar tetapi tidak ketat; Θ(n²) menyatakan laju pertumbuhan yang tepat.

Jawaban

C · Ya, karena Big O adalah batas atas dan n² tidak tumbuh lebih cepat daripada n³
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: B · Θ(n log² n)

Mengapa ini jawabannya

Tingkat k melakukan kerja sekitar n log(n / 2ᵏ), dan menjumlahkannya atas log n tingkat menghasilkan Θ(n log² n), kasus kedua yang diperluas dari master theorem.

Jawaban

B · Θ(n log² n)
3.Struktur data

Jawaban: C · Pada indeks ⌊(i − 1) / 2⌋

Mengapa ini jawabannya

Anak-anak i berada di 2i + 1 dan 2i + 2, sehingga induk i adalah ⌊(i − 1) / 2⌋; dengan indeks berbasis 1, induknya ⌊i / 2⌋.

Jawaban

C · Pada indeks ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Struktur data

Jawaban: C · O(log n)

Mengapa ini jawabannya

Setelah kunci diturunkan, elemen bergeser ke atas (sift up) paling banyak setinggi heap. Fibonacci heap mencapai decrease-key teramortisasi O(1).

Jawaban

C · O(log n)
5.Teori graf

Jawaban: L = 8

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Lema jabat tangan untuk pohon

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

Jawaban

L = 8

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawaban: W = 41

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

BC (1): ambil
DF (6): ambil
AC (7): ambil
AB (8): lewati, membentuk siklus
EF (11): ambil
DE (15): lewati, membentuk siklus
BD (16): ambil

Total bobot

W = 1 + 6 + 7 + 11 + 16 = 41

Jawaban

W = 41

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms