Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Anda mengurutkan array berisi n elemen sekali, lalu menjawab k kueri keanggotaan dengan binary search. Berapa total biayanya?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(nk)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Mengapa pencarian rata-rata pada tabel hash adalah O(1) tetapi kasus terburuknya O(n)?

  1. AFungsi hash lambat
  2. BKunci harus diurutkan terlebih dahulu
  3. CAkses array memerlukan O(n)
  4. DBanyak kunci dapat bertabrakan (collision) di bucket yang sama
3.Struktur dataSedang

Bagaimana elemen baru disisipkan ke binary heap?

  1. ATempatkan di akhir array dan geser ke atas (sift up) selama melanggar sifat heap
  2. BTempatkan di root dan geser ke bawah (sift down)
  3. CSisipkan di posisi terurutnya dengan menggeser semua elemen yang lebih besar satu tempat ke kanan
  4. DBangun ulang seluruh heap dari awal
4.Struktur dataSulit

Berapa waktu eksekusi breadth-first search pada graf dengan V simpul yang disimpan sebagai adjacency matrix?

  1. AO(V)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
5.Teori grafSedang

Sebuah pohon memiliki 2 simpul berderajat 3, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?

2 × deg 3
L =
6.Teori grafSulit
6132124132143145ABCDEFG

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · O(n log n + k log n)

Mengapa ini jawabannya

Pengurutan berbiaya O(n log n) dan setiap kueri O(log n); ini mengalahkan k kali pemindaian linear (O(nk)) ketika k besar.

Jawaban

D · O(n log n + k log n)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Banyak kunci dapat bertabrakan (collision) di bucket yang sama

Mengapa ini jawabannya

Dengan fungsi hash dan faktor beban (load factor) yang baik, bucket rata-rata tetap pendek; hashing yang buruk atau sengaja diserang dapat menempatkan semua kunci di satu bucket.

Jawaban

D · Banyak kunci dapat bertabrakan (collision) di bucket yang sama
3.Struktur data

Jawaban: A · Tempatkan di akhir array dan geser ke atas (sift up) selama melanggar sifat heap

Mengapa ini jawabannya

Menambah di akhir menjaga pohon tetap lengkap; menukar dengan induk memulihkan urutan dalam O(log n) langkah.

Jawaban

A · Tempatkan di akhir array dan geser ke atas (sift up) selama melanggar sifat heap
4.Struktur data

Jawaban: C · O(V²)

Mengapa ini jawabannya

Setiap V simpul memindai satu baris berisi V entri, sehingga hasilnya O(V²); dengan adjacency list, BFS adalah O(V + E).

Jawaban

C · O(V²)
5.Teori graf

Jawaban: L = 4

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Lema jabat tangan untuk pohon

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

Jawaban

L = 4

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 11

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 6, C: 1
C (1): B: 4, E: 13, G: 4
B (4): D: 6
G (4): E: 9
D (6): F: 19
E (9): F: 11
F (11)

Lintasan terpendek

A → C → G → E → F
d(F) = 11

Jawaban

d(F) = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms