Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Anda mengurutkan array berisi n elemen sekali, lalu menjawab k kueri keanggotaan dengan binary search. Berapa total biayanya?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(n + k)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Apa yang ditetapkan oleh teorema Cook–Levin?

  1. ASetiap masalah NP dapat diselesaikan dalam waktu eksponensial
  2. BHalting problem tidak dapat diputuskan (undecidable)
  3. CP tidak sama dengan NP
  4. DBoolean satisfiability problem (SAT) adalah NP-complete
3.Struktur dataSedang

Sebuah binary tree memiliki root 1 dengan anak kiri 2 dan anak kanan 3; node 2 memiliki anak 4 (kiri) dan 5 (kanan). Bagaimana hasil traversal preorder-nya?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C4 5 2 3 1
  4. D1 2 4 5 3
4.Struktur dataSulit

Fenwick tree (binary indexed tree) atas array berisi n bilangan mendukung operasi apa dalam O(log n)?

  1. AMenyisipkan elemen di posisi mana pun
  2. BMengurutkan array dan binary search
  3. CMencari median dalam O(1)
  4. DKueri prefix sum dan pembaruan satu elemen
5.Teori grafSedang

Sebuah graf terhubung memiliki 18 simpul dan 18 sisi. Berapa sisi k yang harus dihapus agar tersisa pohon rentang?

|V| = 18|E| = 18
k =
6.Teori grafSulit
94135135126ABCDEF

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · O(n log n + k log n)

Mengapa ini jawabannya

Pengurutan berbiaya O(n log n) dan setiap kueri O(log n); ini mengalahkan k kali pemindaian linear (O(nk)) ketika k besar.

Jawaban

D · O(n log n + k log n)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Boolean satisfiability problem (SAT) adalah NP-complete

Mengapa ini jawabannya

Cook dan Levin secara terpisah menunjukkan bahwa setiap masalah di NP dapat direduksi ke SAT dalam waktu polinomial, sehingga SAT menjadi masalah NP-complete pertama yang dikenal.

Jawaban

D · Boolean satisfiability problem (SAT) adalah NP-complete
3.Struktur data

Jawaban: D · 1 2 4 5 3

Mengapa ini jawabannya

Preorder mengunjungi 1, lalu subpohon kirinya (2, 4, 5), lalu 3; pilihan lainnya adalah inorder, postorder, dan level-order.

Jawaban

D · 1 2 4 5 3
4.Struktur data

Jawaban: D · Kueri prefix sum dan pembaruan satu elemen

Mengapa ini jawabannya

Fenwick tree menyimpan jumlah parsial atas rentang yang ditentukan oleh bit-bit rendah setiap indeks, sehingga prefix sum maupun pembaruan titik memerlukan O(log n).

Jawaban

D · Kueri prefix sum dan pembaruan satu elemen
5.Teori graf

Jawaban: k = 1

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Sisi pohon rentang

18 − 1 = 17

Sisi yang dihapus

k = 18 − 17 = 1

Jawaban

k = 1
6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 19

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 9, C: 4
C (4): E: 17
B (9): D: 14, E: 15
D (14): F: 19
E (15)
F (19)

Lintasan terpendek

A → B → D → F
d(F) = 19

Jawaban

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms