Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Algoritma greedy:

  1. AMengambil pilihan terbaik secara lokal pada setiap langkah
  2. BMencoba setiap solusi yang mungkin
  3. CHanya menggunakan rekursi
  4. DSelalu memberikan solusi optimal
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Teknik manakah yang memberikan waktu eksekusi harapan (expected) O(n log n) untuk quicksort pada input apa pun?

  1. AMengurutkan input sebelum menjalankan quicksort
  2. BSelalu memilih elemen pertama
  3. CMenggunakan rekursi hanya pada sisi kiri
  4. DMemilih pivot secara acak seragam
3.Struktur dataSedang

Berapa banyak memori yang dipakai adjacency list untuk graf dengan V simpul dan E sisi?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E²)
  3. CO(V²)
  4. DO(V × E)
4.Struktur dataSulit

Fenwick tree (binary indexed tree) atas array berisi n bilangan mendukung operasi apa dalam O(log n)?

  1. AMengurutkan array dan binary search
  2. BKueri prefix sum dan pembaruan satu elemen
  3. CMenyisipkan elemen di posisi mana pun
  4. DMencari median dalam O(1)
5.Teori grafSedang

Ada berapa sirkuit Hamilton H yang berbeda pada graf lengkap K4? Sirkuit yang hanya berbeda dalam simpul awal atau arahnya dianggap sama.

K4
H =
6.Teori grafSulit
6221931210ABCDEF

Algoritma Dijkstra berjalan dari A. Klik simpul yang ditetapkan (dijadikan permanen) pada putaran 5; A sendiri adalah putaran 1.

awal: Aputaran 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: A · Mengambil pilihan terbaik secara lokal pada setiap langkah

Mengapa ini jawabannya

Algoritma greedy cepat dan optimal untuk beberapa masalah (misalnya Dijkstra, pengodean Huffman), tetapi tidak secara umum (misalnya masalah penukaran koin dengan sistem koin tertentu).

Jawaban

A · Mengambil pilihan terbaik secara lokal pada setiap langkah
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Memilih pivot secara acak seragam

Mengapa ini jawabannya

Dengan pivot acak, waktu eksekusi harapan adalah O(n log n) untuk setiap input; kasus buruk tetap ada tetapi sangat kecil kemungkinannya.

Jawaban

D · Memilih pivot secara acak seragam
3.Struktur data

Jawaban: A · O(V + E)

Mengapa ini jawabannya

Setiap simpul memiliki list dan setiap sisi muncul sekali (berarah) atau dua kali (tak berarah), sehingga hasilnya O(V + E).

Jawaban

A · O(V + E)
4.Struktur data

Jawaban: B · Kueri prefix sum dan pembaruan satu elemen

Mengapa ini jawabannya

Fenwick tree menyimpan jumlah parsial atas rentang yang ditentukan oleh bit-bit rendah setiap indeks, sehingga prefix sum maupun pembaruan titik memerlukan O(log n).

Jawaban

B · Kueri prefix sum dan pembaruan satu elemen
5.Teori graf

Jawaban: H = 3

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Hitung

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Jawaban

H = 3
6.Teori graf

Jawaban: F

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

1. A (0): B: 6, C: 2
2. C (2): B: 4
3. B (4): D: 5, E: 14
4. D (5): F: 8
5. F (8)
6. E (14)

putaran 5

F

Jawaban

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms