Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Pada activity selection problem, aturan greedy mana yang selalu menghasilkan jumlah maksimum aktivitas yang tidak saling tumpang tindih?

  1. APilih aktivitas dengan tumpang tindih paling sedikit terlebih dahulu, lalu ulangi dengan aktivitas yang kompatibel
  2. BPilih aktivitas yang dimulai paling awal
  3. CPilih aktivitas yang selesai paling awal, lalu ulangi dengan aktivitas yang kompatibel
  4. DPilih aktivitas terpendek terlebih dahulu
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Pernyataan mana tentang memilih elemen terkecil ke-k dari array tidak terurut yang benar?

  1. ASeleksi selalu memerlukan Ω(n log n) karena memerlukan pengurutan
  2. BSeleksi hanya mungkin dilakukan dalam O(n²)
  3. CQuickselect berjalan dalam O(log n) pada kasus terburuk, karena hanya berekursi ke satu sisi pivot
  4. DQuickselect berjalan dalam O(n) yang diharapkan, dan median-of-medians menjamin O(n) pada kasus terburuk
3.Struktur dataSedang

Berapa biaya menyisipkan elemen di tengah array berisi n elemen?

  1. AO(n²), karena setiap elemen bergeser n kali
  2. BO(1), karena indeksnya diketahui
  3. CO(log n), karena binary search
  4. DO(n), karena elemen-elemen sesudahnya harus digeser
4.Struktur dataSulit

Mengapa elemen tidak dapat begitu saja dihapus dari Bloom filter standar dengan mengosongkan bit-bitnya?

  1. ABit-bit itu mungkin juga milik elemen lain, sehingga akan menimbulkan false negative
  2. BBloom filter menyimpan elemen utuh, dan elemen itu tidak dapat ditemukan lagi setelah di-hash
  3. CBit dalam Bloom filter tidak dapat diubah setelah dibuat
  4. DPenghapusan akan menaikkan tingkat false positive menjadi 100%
5.Teori grafSedang
ABCDEFGSirkuit EulerLintasan Euler, bukan sirkuitbukan keduanya

Apakah graf terhubung ini memiliki sirkuit Euler, lintasan Euler yang bukan sirkuit, atau bukan keduanya? Klik jawaban Anda.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Sirkuit Euler
  2. 2Lintasan Euler, bukan sirkuit
  3. 3bukan keduanya
6.Teori grafSulit
591012511139ABCDEF

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · Pilih aktivitas yang selesai paling awal, lalu ulangi dengan aktivitas yang kompatibel

Mengapa ini jawabannya

Memilih waktu selesai paling awal dapat dibuktikan optimal dengan argumen pertukaran (exchange argument); aturan lain memiliki contoh penyangkal.

Jawaban

C · Pilih aktivitas yang selesai paling awal, lalu ulangi dengan aktivitas yang kompatibel
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Quickselect berjalan dalam O(n) yang diharapkan, dan median-of-medians menjamin O(n) pada kasus terburuk

Mengapa ini jawabannya

Kerja yang diharapkan quickselect adalah n + n/2 + n/4 + ... = O(n) dengan pivot acak; memilih pivot sebagai median of medians membuat kasus terburuknya linear.

Jawaban

D · Quickselect berjalan dalam O(n) yang diharapkan, dan median-of-medians menjamin O(n) pada kasus terburuk
3.Struktur data

Jawaban: D · O(n), karena elemen-elemen sesudahnya harus digeser

Mengapa ini jawabannya

Semua elemen setelah titik penyisipan bergeser satu posisi ke kanan, yang memerlukan waktu sebanding dengan n.

Jawaban

D · O(n), karena elemen-elemen sesudahnya harus digeser
4.Struktur data

Jawaban: A · Bit-bit itu mungkin juga milik elemen lain, sehingga akan menimbulkan false negative

Mengapa ini jawabannya

Mengosongkan bit yang dipakai bersama akan membuat elemen lain tampak tidak ada; counting Bloom filter menyimpan penghitung alih-alih bit agar penghapusan dimungkinkan.

Jawaban

A · Bit-bit itu mungkin juga milik elemen lain, sehingga akan menimbulkan false negative
5.Teori graf

Jawaban: Lintasan Euler, bukan sirkuit

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Derajat

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Simpul ganjil

B, F → 2
Lintasan Euler, bukan sirkuit

Jawaban

Lintasan Euler, bukan sirkuit

Lintasan Euler dimulai di satu simpul ganjil dan berakhir di simpul ganjil lainnya.

6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 26

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 5, C: 9
B (5): D: 15, E: 14
C (9)
E (14): F: 27
D (15): F: 26
F (26)

Lintasan terpendek

A → B → D → F
d(F) = 26

Jawaban

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms