Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Berapa kompleksitas waktu teramortisasi (amortised) untuk menambahkan elemen ke array dinamis yang menggandakan kapasitasnya ketika penuh?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Dengan teorema master, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) memiliki solusi:

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n²)
3.Struktur dataSedang

Berapa banyak node yang dimiliki perfect binary tree dengan tinggi h, dengan tinggi dihitung dalam sisi?

  1. A2h + 1
  2. B2h+1 − 1
  3. Ch2
  4. D2h
4.Struktur dataSulit

Apa keunggulan utama skip list dibandingkan sorted linked list?

  1. APencarian dengan ekspektasi O(log n) dengan menggunakan beberapa level pointer maju
  2. BTidak menggunakan memori tambahan
  3. CKunci disimpan tanpa urutan
  4. DPencarian O(1) yang terjamin karena setiap node menyimpan pointer ke setiap node lainnya
5.Teori grafSedang

Sebuah pohon memiliki 3 simpul berderajat 3, 3 simpul berderajat 2, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?

3 × deg 33 × deg 2
L =
6.Teori grafSulit
156642911814ABCDEFG

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(G) lintasan terpendek dari A ke G pada graf berbobot.

awal: Aakhir: G
d(G) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · O(1)

Mengapa ini jawabannya

Penyalinan semua elemen hanya terjadi pada pangkat dua; jika dibagi rata ke semua penambahan, biaya rata-rata per penambahan adalah konstan.

Jawaban

D · O(1)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: B · Θ(n³)

Mengapa ini jawabannya

log₂ 8 = 3, dan n² tumbuh lebih lambat daripada n³, sehingga daun mendominasi: Θ(n³).

Jawaban

B · Θ(n³)
3.Struktur data

Jawaban: B · 2h+1 − 1

Mengapa ini jawabannya

Menjumlahkan 1 + 2 + 4 + ... + 2h menghasilkan 2h+1 − 1; misalnya, tinggi 2 menghasilkan 7 node.

Jawaban

B · 2h+1 − 1
4.Struktur data

Jawaban: A · Pencarian dengan ekspektasi O(log n) dengan menggunakan beberapa level pointer maju

Mengapa ini jawabannya

Level yang diacak memungkinkan pencarian melompati banyak node, sehingga pencarian, penyisipan, dan penghapusan memiliki ekspektasi O(log n).

Jawaban

A · Pencarian dengan ekspektasi O(log n) dengan menggunakan beberapa level pointer maju
5.Teori graf

Jawaban: L = 5

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Lema jabat tangan untuk pohon

L + 15 = 2(L + 6) − 2
L = 5

Jawaban

L = 5

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawaban: d(G) = 17

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 15, C: 6
C (6): B: 12, E: 8, G: 17
E (8)
B (12): D: 16
D (16): F: 25
G (17)
F (25)

Lintasan terpendek

A → C → G
d(G) = 17

Jawaban

d(G) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms