Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Algoritma greedy:

  1. AMengambil pilihan terbaik secara lokal pada setiap langkah
  2. BSelalu memberikan solusi optimal
  3. CHanya menggunakan rekursi
  4. DMencoba setiap solusi yang mungkin
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Dua hal apa yang harus ditunjukkan untuk membuktikan bahwa masalah keputusan X adalah NP-complete?

  1. AX dapat direduksi ke masalah di P, dan X berada di NP
  2. BX berada di P, dan X dapat direduksi ke SAT
  3. CX tidak memiliki algoritma polinomial, dan X decidable
  4. DX berada di NP, dan masalah NP-complete yang sudah dikenal dapat direduksi ke X dalam waktu polinomial
3.Struktur dataSedang

Mengapa binary heap dapat disimpan dalam array tanpa pointer sama sekali?

  1. AHeap tidak pernah berisi lebih dari 100 elemen
  2. BSemua kunci dalam heap sama
  3. CArray otomatis menjaga kunci tetap terurut, sehingga tidak diperlukan pointer
  4. DHeap adalah complete binary tree, sehingga posisinya mengikuti rumus indeks yang sederhana
4.Struktur dataSulit

Struktur union-find (disjoint set) dengan union by rank dan path compression memiliki biaya teramortisasi per operasi sebesar:

  1. AO(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DTepat O(log n)
5.Teori grafSedang

Sebuah pohon memiliki 4 simpul berderajat 3, 2 simpul berderajat 2, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?

4 × deg 32 × deg 2
L =
6.Teori grafSulit
1510233991192ABCDEFG

Algoritma Dijkstra berjalan dari A. Klik simpul yang ditetapkan (dijadikan permanen) pada putaran 6; A sendiri adalah putaran 1.

awal: Aputaran 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: A · Mengambil pilihan terbaik secara lokal pada setiap langkah

Mengapa ini jawabannya

Algoritma greedy cepat dan optimal untuk beberapa masalah (misalnya Dijkstra, pengodean Huffman), tetapi tidak secara umum (misalnya masalah penukaran koin dengan sistem koin tertentu).

Jawaban

A · Mengambil pilihan terbaik secara lokal pada setiap langkah
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · X berada di NP, dan masalah NP-complete yang sudah dikenal dapat direduksi ke X dalam waktu polinomial

Mengapa ini jawabannya

Keanggotaan di NP menunjukkan X tidak lebih sulit daripada NP; reduksi dari masalah NP-complete yang dikenal menunjukkan X setidaknya sesulit seluruh NP.

Jawaban

D · X berada di NP, dan masalah NP-complete yang sudah dikenal dapat direduksi ke X dalam waktu polinomial
3.Struktur data

Jawaban: D · Heap adalah complete binary tree, sehingga posisinya mengikuti rumus indeks yang sederhana

Mengapa ini jawabannya

Kelengkapan berarti tidak ada celah, sehingga anak-anak indeks i selalu berada di 2i + 1 dan 2i + 2.

Jawaban

D · Heap adalah complete binary tree, sehingga posisinya mengikuti rumus indeks yang sederhana
4.Struktur data

Jawaban: A · O(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan

Mengapa ini jawabannya

Dengan kedua optimasi tersebut, operasi membutuhkan waktu teramortisasi O(α(n)); α(n) ≤ 4 untuk setiap n yang realistis.

Jawaban

A · O(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan
5.Teori graf

Jawaban: L = 6

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Lema jabat tangan untuk pohon

L + 16 = 2(L + 6) − 2
L = 6

Jawaban

L = 6

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawaban: C

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

1. A (0): B: 15
2. B (15): C: 25, D: 17, G: 26
3. D (17): E: 20, F: 26
4. E (20): C: 23, G: 22
5. G (22)
6. C (23)
7. F (26)

putaran 6

C

Jawaban

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms