Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Berapa banyak ruang stack yang dipakai fungsi faktorial rekursif sederhana fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Berapa waktu eksekusi algoritma Dijkstra dengan binary heap pada graf dengan V simpul dan E sisi?

  1. AO(V³)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V + E)
3.Struktur dataSedang

Dalam binary min-heap yang disimpan dalam array (indeks dimulai dari 0), anak-anak dari node pada indeks i berada di:

  1. Ai/2 dan i/2 + 1
  2. B2i dan 2i + 1
  3. Ci + 1 dan i + 2
  4. D2i + 1 dan 2i + 2
4.Struktur dataSulit

Sebuah objek disimpan sebagai kunci dalam hash map, lalu field yang dipakai fungsi hash-nya diubah. Apa akibat yang mungkin?

  1. AMap otomatis memindahkan kunci ke bucket barunya
  2. BMap melempar error pada saat field berubah
  3. CPencarian objek itu mungkin gagal karena objek berada di bucket untuk hash lamanya
  4. DTidak ada yang berubah, karena hash suatu kunci hanya dihitung sekali ketika program dimulai
5.Teori grafSedang

Sebuah pohon memiliki 4 simpul berderajat 3, 3 simpul berderajat 4, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?

4 × deg 33 × deg 4
L =
6.Teori grafSulit
218138111761412ABCDEFG

Carilah total bobot W pohon rentang minimum dari graf berbobot ini.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · O(n)

Mengapa ini jawabannya

Rekursinya sedalam n pemanggilan sebelum ada yang kembali, dan setiap pemanggilan memerlukan stack frame, sehingga memakai ruang O(n).

Jawaban

C · O(n)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: B · O((V + E) log V)

Mengapa ini jawabannya

Ada V operasi extract-min dan sampai E operasi decrease-key, masing-masing O(log V); Fibonacci heap memperbaikinya menjadi O(E + V log V).

Jawaban

B · O((V + E) log V)
3.Struktur data

Jawaban: D · 2i + 1 dan 2i + 2

Mengapa ini jawabannya

Untuk array berbasis 0, anak kiri berada di 2i + 1, anak kanan di 2i + 2, dan induk di ⌊(i − 1)/2⌋.

Jawaban

D · 2i + 1 dan 2i + 2
4.Struktur data

Jawaban: C · Pencarian objek itu mungkin gagal karena objek berada di bucket untuk hash lamanya

Mengapa ini jawabannya

Lokasi kunci dipilih dari hash lamanya; dengan hash baru, pencarian menelusuri bucket yang salah, sehingga kunci sebaiknya immutable.

Jawaban

C · Pencarian objek itu mungkin gagal karena objek berada di bucket untuk hash lamanya
5.Teori graf

Jawaban: L = 12

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Lema jabat tangan untuk pohon

L + 24 = 2(L + 7) − 2
L = 12

Jawaban

L = 12

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawaban: W = 56

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

AB (2): ambil
GC (6): ambil
BD (8): ambil
DE (11): ambil
GE (12): ambil
BC (13): lewati, membentuk siklus
GD (14): lewati, membentuk siklus
DF (17): ambil

Total bobot

W = 2 + 6 + 8 + 11 + 12 + 17 = 56

Jawaban

W = 56

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms