Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (√(x² − 8x) − x).

f(x) = √(x² − 8x) − xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(4x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 3x)/(4x²)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = (2x − 1)⁵. Tentukan f′(−1).

f(x) = (2x − 1)⁵x = −1

f′(−1) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = 2x² − x − 4 di x = −1 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = 2x² − x − 4x = −1

b =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = 2x.

y = x²y = 2x

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Carilah argumen θ dari z = −9 − j5 dalam derajat, sebagai nilai pokok di antara −180° dan 180°.

z = −9 − j5

θ = °

8.Bilangan kompleksSulit

Persamaan z² − 5z + 12,5 = 0 memiliki dua akar kompleks. Carilah modulusnya |z|.

p = −5q = 12,5

|z| =

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 8y′ + 15y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = -2. Cari y(1,5).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 2y′(0) = -2

y(1.5) =

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan masalah nilai awal y′ + 3y/x = 6 untuk x > 0, dengan y(1) = 2. Cari y(3).

y′ + 3y/x = 6y(1) = 2

y(3) =

11.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [0 −4 2; −1 −2 −2; 5 −5 3]

det A =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem 3x + 6y = 2 dan −4x + 3y = −9. Tentukan x.

3x + 6y = 2−4x + 3y = −9

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (−3, −6, −6) pada b = (3, 5, 2), yaitu komponen a searah b.

a = (−3, −6, −6)b = (3, 5, 2)

comp_b a =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (−5, 0, 1) dan b = (−2, −2, −5) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen x n̂_x.

a = (−5, 0, 1)b = (−2, −2, −5)n̂_z > 0

n̂_x =

15.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

4 / 8

P =

16.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 9 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,2, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 2 jawaban benar?

n = 9p = 0,2k = 2

P =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 31, 51, 41, 47, 38, 10.

n = 6

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 20. Berapa proporsi P nilai di atas 78?

μ = 70σ = 20x = 78

P =

19.Distribusi normalSedang

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Berapa proporsi yang berada di antara 169,95 dan 192 cm? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,95x₂ = 192

P =

20.Distribusi normalSulit

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 10% data (persentil ke-10).

μ = 100σ = 15P = 10%

x = poin

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = −4

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Kalikan dengan bentuk sekawan

f(x) = −8x/(√(x² − 8x) + x)

Bagi dengan x

f(x) = −8/(√(1 + (−8)/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = −8/(1 + 1) = −4

Jawaban

L = −4

2.Limit

Jawaban: L = 1,125

Penerapan pertama

3·sin 3x/(8x) → 0/0

Penerapan kedua

9·cos 3x/8

Substitusikan x = 0

L = 9/8 = 1,125

Jawaban

L = 1,125

3.Turunan

Jawaban: f′(−1) = 810

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai

f′(x) = 5·(2x − 1)⁴·2

Substitusikan

f′(−1) = 5·(−3)⁴·2 = 810

Jawaban

f′(−1) = 810

4.Turunan

Jawaban: b = −6

Titik dan kemiringan

f(−1) = −1

f′(x) = 4x − 1 → f′(−1) = −5

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − (−5)·(−1) = −6

Jawaban

b = −6

5.Integral

Jawaban: I = 41,33

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Substitusi

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Integralkan dan substitusikan batas

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Jawaban

I = 41,33

6.Integral

Jawaban: A = 1,333

Titik potong

x² = 2x → x = 0, x = 2

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

Jawaban

A = 1,333

7.Bilangan kompleks

Jawaban: θ = −150,9 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Kuadran

a = −9, b = −5 → III

Sudut acuan

α = atan(5/9) = 29,05°

Argumen

θ = −(180° − α) = −150,9°

Jawaban

θ = −150,9°

Dalam bentuk kutub z = 10,3∠−150,9°.

8.Bilangan kompleks

Jawaban: |z| = 3,536

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Diskriminan

p² − 4q = 25 − 50 = −25 < 0

Rumus kuadrat

z = (5 ± j√25)/2 = 2,5 + j2,5, 2,5 − j2,5

Jawaban

|z| = √(2,5² + 2,5²) = √12,5 = 3,536

Jawaban

|z| = 3,536

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = 0,04333

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar karakteristik

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Konstanta dari nilai awal

A + B = 2, −3A − 5B = -2

A = 4, B = −2

Hitung nilainya

y(1,5) = 4·e^−4,5 + (−2)·e^−7,5 = 0,04333

Jawaban

y(1,5) = 0,04333

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(3) = 4,519

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Faktor integrasi

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Integralkan

(x³y)′ = 6x³ → x³y = 6x⁴/4 + C

Kondisi awal

2 = 6/4 + C → C = 0,5

Hitung nilainya

y(3) = (6·3⁴/4 + 0,5)/3³ = 4,519

Jawaban

y(3) = 4,519

11.Matriks & determinan

Jawaban: det A = 58

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −16, M₁₂ = 7, M₁₃ = 15

Ekspansi kofaktor

det A = 0·(−16) − (−4)·7 + 2·15 = 58

Jawaban

det A = 58

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = 1,818

Determinan matriks koefisien

det A = 3·3 − 6·(−4) = 33

Ganti kolom x

det Aₓ = 2·3 − 6·(−9) = 60

x = 60/33 = 1,818

Jawaban

x = 1,818

y = −0,5758

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = −8,273

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = (−3)·3 + (−6)·5 + (−6)·2 = −51

Panjang b

|b| = √(3² + 5² + 2²) = 6,164

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = −51/6,164 = −8,273

Jawaban

comp_b a = −8,273

Negatif: a memiliki komponen yang berlawanan arah dengan b.

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: n̂_x = 0,0693

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·(−5) − 1·(−2) = 2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−2) − (−5)·(−5) = −27

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−2) − 0·(−2) = 10

Normalkan

Komponen z dari a × b sudah positif.

|a × b| = √(2² + (−27)² + 10²) = 28,86

n̂ = (2, −27, 10)/28,86 = (0,0693, −0,9355, 0,3465)

n̂_x = 0,0693

Jawaban

n̂_x = 0,0693

15.Peluang

Jawaban: P = 0,09091

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091

Jawaban

P = 0,09091

16.Peluang

Jawaban: P = 0,302

Rumus binomial

P(X = 2) = 36·0,2²·0,8⁷ = 36·0,04·0,2097 = 0,302

Jawaban

P = 0,302

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,67

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 218/6 = 36,33

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−5,333)² + 14,67² + 4,667² + 10,67² + 1,667² + (−26,33)² = 1075

Simpangan baku

s = √(1075/5) = 14,67

Jawaban

s = 14,67

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3446

Standarkan

z = 0,4

Tabel normal baku

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Jawaban

P = 0,3446

19.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8522

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (169,95 − 178)/7 = −1,15

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Luas di antara

P = Φ(2) − Φ(−1,15) = 0,9772 − 0,1251 = 0,8522

Jawaban

P = 0,8522

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 80,78 poin

z untuk persentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Kembali ke x

x = 100 + −1,282·15 = 80,78 poin

Jawaban

x = 80,78 poin

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics