Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 + 2/x)^xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(3x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 3x)/(3x²)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = ln(3x² + 2). Tentukan f′(−2).

f(x) = ln(3x² + 2)x = −2

f′(−2) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = x² − 4x − 2 di x = 2 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = x² − 4x − 2x = 2

b =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀¹ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 1]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 4 − x² dan sumbu x.

y = 4 − x²

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Bilangan z = 3·e^j2 memiliki sudut dalam radian. Carilah bagian realnya a.

r = 3θ = 2 rad

a =

8.Bilangan kompleksSulit

Tepat satu dari titik A–D adalah akar z³ = 8∠120°. Klik titik itu.

w = 8∠120°n = 3

1A (2∠160°)
2B (2∠−170°)
3C (1∠160°)
4D (2∠−20°)

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 8y′ + 16y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 4. Cari y(2).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = 4

y(2) =

10.Persamaan diferensialSulit

Sebuah sistem memenuhi y″ + 2y′ + 17y = 170 untuk t ≥ 0, dimulai dari keadaan diam: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari nilai puncak y_max dari respons langkahnya.

y″ + 2y′ + 17y = 170y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [4 −5 −1; 0 4 −4; 2 −4 3]

det A =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem x − 5y = 8 dan −2x − 3y = 2. Tentukan x.

x − 5y = 8−2x − 3y = 2

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan nilai k agar vektor a = (−4, −6, 6) dan b = (k, −5, 4) saling tegak lurus.

a = (−4, −6, 6)b = (k, −5, 4)

k =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Tentukan volume V paralelepipedum yang rusuk-rusuknya dari satu titik sudut adalah a = (−3, −3, −3), b = (−2, −4, 5), dan c = (2, 3, 2).

a = (−3, −3, −3)b = (−2, −4, 5)c = (2, 3, 2)

V =

15.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 3 orang dapat dipilih dari kelompok 15 orang? Urutan tidak penting.

n = 15k = 3

N =

16.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 10 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,25, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 4 jawaban benar?

n = 10p = 0,25k = 4

P =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 39, 46, 41, 54, 58, 52, 30.

n = 7

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di bawah 62,5?

μ = 70σ = 15x = 62,5

P =

19.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,0681. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,0681

z =

20.Distribusi normalSulit

umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Seret batas sehingga 40% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 7,389

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 2/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·2 = 2

Batalkan logaritmanya

L = e² = 7,389

Jawaban

L = 7,389

2.Limit

Jawaban: L = 1,5

Penerapan pertama

3·sin 3x/(6x) → 0/0

Penerapan kedua

9·cos 3x/6

Substitusikan x = 0

L = 9/6 = 1,5

Jawaban

L = 1,5

3.Turunan

Jawaban: f′(−2) = −0,8571

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai untuk logaritma

f′(x) = 6x/(3x² + 2)

Substitusikan

f′(−2) = −12/14 = −0,8571

Jawaban

f′(−2) = −0,8571

4.Turunan

Jawaban: b = −6

Titik dan kemiringan

f(2) = −6

f′(x) = 2x − 4 → f′(2) = 0

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −6 − 0·2 = −6

Jawaban

b = −6

5.Integral

Jawaban: I = 3,195

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = e^2x/2

Substitusikan batasnya

I = (e² − 1)/2 = (7,389 − 1)/2 = 3,195

Jawaban

I = 3,195

6.Integral

Jawaban: A = 10,67

Pembuat nol

4 − x² = 0 → x = ±2

Integralkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Jawaban

A = 10,67

7.Bilangan kompleks

Jawaban: a = −1,248

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Rumus Euler

z = 3·(cos 2 + j sin 2)

Komponen (radian)

a = 3·cos 2 = −1,248

b = 3·sin 2 = 2,728

a = −1,248

Jawaban

a = −1,248

8.Bilangan kompleks

Jawaban: A (2∠160°)

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen akar-akar

|z| = 2

θ = 40°, 160°, −80°

Titiknya

A = 2∠160°

Jawaban

A (2∠160°)

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(2) = 0,008722

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar ganda

(r + 4)² = 0 → r = −4

Konstanta

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 4A → B = 4 + 8 = 12

Hitung nilainya

y(2) = (2 + 12·2)·e⁻⁸ = 0,008722

Jawaban

y(2) = 0,008722

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y_max = 14,56

Nilai tunak dan akar-akar

y_ss = 10, r = −1 ± 4j

Konstanta dari nilai awal

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −2,5

Puncak

t = π/4 = 0,7854

y_max = 10·(1 + e^−1·π/4) = 14,56

Jawaban

y_max = 14,56

11.Matriks & determinan

Jawaban: det A = 32

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −4, M₁₂ = 8, M₁₃ = −8

Ekspansi kofaktor

det A = 4·(−4) − (−5)·8 + (−1)·(−8) = 32

Jawaban

det A = 32

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = 1,077

Determinan matriks koefisien

det A = 1·(−3) − (−5)·(−2) = −13

Ganti kolom x

det Aₓ = 8·(−3) − (−5)·2 = −14

x = −14/(−13) = 1,077

Jawaban

x = 1,077

y = −1,385

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: k = 13,5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik sama dengan nol

a·b = (−4)·k + (−6)·(−5) + 6·4 = 0

54 + (−4)·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −54/(−4) = 13,5

Jawaban

k = 13,5

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: V = 21

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−4)·2 − 5·3 = −23

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 5·2 − (−2)·2 = 14

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−2)·3 − (−4)·2 = 2

Hasil kali titik dengan a

a·(b × c) = (−3)·(−23) + (−3)·14 + (−3)·2 = 21

V = |21| = 21

Jawaban

V = 21

15.Peluang

Jawaban: N = 455

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Jawaban

N = 455

16.Peluang

Jawaban: P = 0,146

Rumus binomial

P(X = 4) = 210·0,25⁴·0,75⁶ = 210·0,003906·0,178 = 0,146

Jawaban

P = 0,146

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 9,776

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 320/7 = 45,71

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−6,714)² + 0,2857² + (−4,714)² + 8,286² + 12,29² + 6,286² + (−15,71)² = 573,4

Simpangan baku

s = √(573,4/6) = 9,776

Jawaban

s = 9,776

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3085

Standarkan

z = −0,5

Tabel normal baku

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Jawaban

P = 0,3085

19.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,49

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,0681 = 0,9319

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9319 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,49

Jawaban

z = 1,49

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 490 h

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,4

z dari tabel

z ≈ −0,25

Kembali ke satuan semula

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Jawaban

x = 490 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics