Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^2x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 + 2/x)^2xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(4x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·sin(3x), dengan x dalam radian. Tentukan f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = −x² + x − 2 di x = −1 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = −x² + x − 2x = −1

b =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Carilah argumen θ dari z = −6 − j2 dalam derajat, sebagai nilai pokok di antara −180° dan 180°.

z = −6 − j2

θ = °

8.Bilangan kompleksSulit

Tepat satu dari titik A–D adalah akar z³ = 8∠−90°. Klik titik itu.

w = 8∠−90°n = 3

1A (2∠30°)
2B (2∠−90°)
3C (2∠−150°)
4D (3,6∠−90°)

9.Persamaan diferensialSedang

Secangkir kopi bersuhu 93 °C dibiarkan di ruangan bersuhu 24 °C. Setelah 20 menit suhunya 55 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T₀ = 93 °CT_a = 24 °CT(20) = 55 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 100 L air murni. Air garam dengan 0,25 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 20 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Setelah berapa menit t tangki berisi 15 kg garam?

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 20 L/min

t = min

11.Matriks & determinanSedang

Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c₁₂ (baris 1, kolom 2).

A = [−4 −5; 3 2]B = [2 −3; 6 3]

c₁₂ =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem 6x − 4y = −9 dan 5x + 6y = −1. Tentukan x.

6x − 4y = −95x + 6y = −1

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (2, −7, −6) pada b = (−1, 2, −2), yaitu komponen a searah b.

a = (2, −7, −6)b = (−1, 2, −2)

comp_b a =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Tentukan luas A segitiga dengan titik sudut A(4, −1, 1), B(4, 1, −1), dan C(−1, 2, 4). Koordinat dalam meter.

A(4, −1, 1)B(4, 1, −1)C(−1, 2, 4)

A = m²

15.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,3, 0,15

σ =

16.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 10 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,6, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 2 jawaban benar?

n = 10p = 0,6k = 2

P =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 29, 17, 40, 56, 42.

n = 5

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di bawah 60,4?

μ = 70σ = 8x = 60,4

P =

19.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,2510. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,2510

z =

20.Distribusi normalSulit

Waktu putaran pelari A, X, dan waktu putaran pelari B, Y saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 52 s dan simpangan baku 4 s, Y memiliki rata-rata 48 s dan simpangan baku 3 s. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 54,6

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 2/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·2 = 4

Batalkan logaritmanya

L = e⁴ = 54,6

Jawaban

L = 54,6

2.Limit

Jawaban: L = 0,5

Penerapan pertama

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Penerapan kedua

4·cos 2x/8

Substitusikan x = 0

L = 4/8 = 0,5

Jawaban

L = 0,5

3.Turunan

Jawaban: f′(1.5) = −1,926

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian dan rantai

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Substitusikan

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Jawaban

f′(1,5) = −1,926

4.Turunan

Jawaban: b = −1

Titik dan kemiringan

f(−1) = −4

f′(x) = −2x + 1 → f′(−1) = 3

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −4 − 3·(−1) = −1

Jawaban

b = −1

5.Integral

Jawaban: I = 3,75

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Substitusi

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Integralkan dan substitusikan batas

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Jawaban

I = 3,75

6.Integral

Jawaban: A = 10,67

Titik potong

x² = 4x → x = 0, x = 4

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Jawaban

A = 10,67

7.Bilangan kompleks

Jawaban: θ = −161,6 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Kuadran

a = −6, b = −2 → III

Sudut acuan

α = atan(2/6) = 18,43°

Argumen

θ = −(180° − α) = −161,6°

Jawaban

θ = −161,6°

Dalam bentuk kutub z = 6,325∠−161,6°.

8.Bilangan kompleks

Jawaban: C (2∠−150°)

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen akar-akar

|z| = 2

θ = −30°, 90°, −150°

Titiknya

C = 2∠−150°

Jawaban

C (2∠−150°)

9.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,04001 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e^−20k = 31/69

Selesaikan untuk k

k = ln(69/31)/20 = 0,04001 min⁻¹

Jawaban

k = 0,04001 min⁻¹

10.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 4,581 min

Hasil

m(t) = 25 + (−25)·e^−t/5

Selesaikan untuk t

e^−t/5 = (25 − 15)/(25 − 0) = 0,4

t = 5·ln(2,5) = 4,581 min

Jawaban

t = 4,581 min

11.Matriks & determinan

Jawaban: c₁₂ = −3

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Baris kali kolom

c₁₂ = (−4)·(−3) + (−5)·3 = −3

Jawaban

c₁₂ = −3

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = −1,036

Determinan matriks koefisien

det A = 6·6 − (−4)·5 = 56

Ganti kolom x

det Aₓ = (−9)·6 − (−4)·(−1) = −58

x = −58/56 = −1,036

Jawaban

x = −1,036

y = 0,6964

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = −1,333

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 2·(−1) + (−7)·2 + (−6)·(−2) = −4

Panjang b

|b| = √((−1)² + 2² + (−2)²) = 3

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = −4/3 = −1,333

Jawaban

comp_b a = −1,333

Negatif: a memiliki komponen yang berlawanan arah dengan b.

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: A = 9,274 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (0, 2, −2)

AC = C − A = (−5, 3, 3)

Hasil kali silang

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 2·3 − (−2)·3 = 12

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−2)·(−5) − 0·3 = 10

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 0·3 − 2·(−5) = 10

|AB × AC| = √(12² + 10² + 10²) = 18,55

Luas segitiga

A = ½·18,55 = 9,274 m²

Jawaban

A = 9,274 m²

15.Peluang

Jawaban: σ = 1,09

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,15 = 1,25

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,15 = 2,75

Variansi

Var(X) = 2,75 − 1,25² = 1,188

σ = √1,188 = 1,09

Jawaban

σ = 1,09

16.Peluang

Jawaban: P = 0,01062

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 2) = 45·0,6²·0,4⁸ = 45·0,36·0,0006554 = 0,01062

Jawaban

P = 0,01062

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,65

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 184/5 = 36,8

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−7,8)² + (−19,8)² + 3,2² + 19,2² + 5,2² = 858,8

Simpangan baku

s = √(858,8/4) = 14,65

Jawaban

s = 14,65

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1151

Standarkan

z = −1,2

Tabel normal baku

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Jawaban

P = 0,1151

19.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,32

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,2510)/2 = 0,6255

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,6255 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,32

Jawaban

z = 0,32

20.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standarkan

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Peluang

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics