Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (√(9x² + 4x) − 3x).

f(x) = √(9x² + 4x) − 3xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x².

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Tentukan f′(0,5).

f(x) = x·sin(x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ + 10,5x² + 36x − 2. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x³ + 10,5x² + 36x − 2

x =

5.IntegralSedang

Daerah di bawah y = √(4x) dari x = 0 sampai x = 2 diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu (sebuah paraboloid).

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 2

V =

6.IntegralSulit

Hitung I = ∫₀³ x²·eˣ dx.

∫₀³ x²eˣ dx

I =

7.Bilangan kompleksSedang

Carilah argumen θ dari z = −6 − j6 dalam derajat, sebagai nilai pokok di antara −180° dan 180°.

z = −6 − j6

θ = °

8.Bilangan kompleksSulit

Selesaikan z² + 2z + 26 = 0. Akar-akarnya a ± jb; carilah bagian real a.

p = 2q = 26

a =

9.Persamaan diferensialSedang

Secangkir kopi bersuhu 83 °C dibiarkan di ruangan bersuhu 22 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0,1 min⁻¹, cari suhunya T setelah 25 menit.

T₀ = 83 °CT_a = 22 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 25 min

T = °C

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y′ + 2y = 7e^−0,5t dengan y(0) = 1. Cari y(1).

y′ + 2y = 7e^−0,5ty(0) = 1

y(1) =

11.Matriks & determinanSedang

Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c₂₂ (baris 2, kolom 2).

A = [2 −5; 3 −6]B = [5 −2; 4 2]

c₂₂ =

12.Matriks & determinanSulit

Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.

A = [−2 −1; −8 5]

λ =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan hasil kali titik a·b dari a = (6, −3, 7) dan b = (4, −7, 6).

a = (6, −3, 7)b = (4, −7, 6)

a·b =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (−3, 1, 5) dan b = (0, 3, −5) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen x n̂_x.

a = (−3, 1, 5)b = (0, 3, −5)n̂_z > 0

n̂_x =

15.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,3, 0,05

σ =

16.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €2 untuk dimainkan. Anda memenangkan €6 dengan peluang 0,1 dan €100 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €2€6: p = 0,1€100: p = 0,01

E(G) = €

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 59, 50, 13, 19, 54, 42.

n = 6

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di atas 85?

μ = 100σ = 15x = 85

P =

19.Distribusi normalSedang

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Berapa proporsi yang berada di antara 245 dan 257,75 g? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 250σ = 5x₁ = 245x₂ = 257,75

P =

20.Distribusi normalSulit

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 90% data (persentil ke-90).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 0,6667

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Kalikan dengan bentuk sekawan

f(x) = 4x/(√(9x² + 4x) + 3x)

Bagi dengan x

f(x) = 4/(√(9 + 4/x) + 3)

Biarkan x → ∞

L = 4/(3 + 3) = 0,6667

Jawaban

L = 0,6667

2.Limit

Jawaban: L = 2

Penerapan pertama

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

4·e^2x/2

Substitusikan x = 0

L = 4·1/2 = 2

Jawaban

L = 2

3.Turunan

Jawaban: f′(0.5) = 0,9182

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian dan rantai

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Substitusikan

f′(0,5) = 0,4794 + 0,5·0,8776 = 0,9182

Jawaban

f′(0,5) = 0,9182

4.Turunan

Jawaban: x = −3

Turunan

f′(x) = 3x² + 21x + 36 = 3·(x² + 7x + 12)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −4 atau x = −3

Mana yang mana

f″(x) = 6x + 21: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(−4) = −3, f″(−3) = 3

x = −3

Jawaban

x = −3

5.Integral

Jawaban: V = 25,13

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Metode cakram

V = π∫₀² 4x dx

Integralkan

V = π·4·2²/2 = 25,13

Jawaban

V = 25,13

6.Integral

Jawaban: I = 98,43

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Putaran pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Putaran kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limit

20,09·(5) − 1·2 = 98,43

Jawaban

I = 98,43

7.Bilangan kompleks

Jawaban: θ = −135 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Kuadran

a = −6, b = −6 → III

Sudut acuan

α = atan(6/6) = 45°

Argumen

θ = −(180° − α) = −135°

Jawaban

θ = −135°

Dalam bentuk kutub z = 8,485∠−135°.

8.Bilangan kompleks

Jawaban: a = −1

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Diskriminan

p² − 4q = 4 − 104 = −100 < 0

Rumus kuadrat

z = (−2 ± j√100)/2 = −1 + j5, −1 − j5

Jawaban

a = −1

Jawaban

a = −1

9.Persamaan diferensial

Jawaban: T = 27,01 °C

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum pendinginan

T(t) = 22 + 61·e^−0,1t

Substitusikan t

T(25) = 22 + 61·0,08208 = 27,01 °C

Jawaban

T = 27,01 °C

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 2,334

Faktor integrasi

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 7e^1,5t

Penyelesaian umum

y = 7/1,5·e^−0,5t + C·e^−2t = 4,667·e^−0,5t + C·e^−2t

Kondisi awal

1 = 4,667 + C → C = −3,667

Hitung nilainya

y(1) = 4,667·0,6065 + (−3,667)·0,1353 = 2,334

Jawaban

y(1) = 2,334

11.Matriks & determinan

Jawaban: c₂₂ = −18

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Baris kali kolom

c₂₂ = 3·(−2) + (−6)·2 = −18

Jawaban

c₂₂ = −18

12.Matriks & determinan

Jawaban: λ = 6

Persamaan karakteristik

λ² − (3)λ + (−18) = 0

Selesaikan

λ = (3 ± √(81))/2 → λ = −3, 6

λ = 6

Jawaban

λ = 6

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: a·b = 87

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Kalikan komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan

a·b = 6·4 + (−3)·(−7) + 7·6 = 24 + 21 + 42 = 87

Jawaban

a·b = 87

Positif: sudut di antara kedua vektor kurang dari 90°.

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: n̂_x = 0,7527

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·(−5) − 5·3 = −20

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·0 − (−3)·(−5) = −15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·3 − 1·0 = −9

Normalkan

Komponen z dari a × b negatif, jadi gunakan −(a × b).

|a × b| = √((−20)² + (−15)² + (−9)²) = 26,57

n̂ = −(−20, −15, −9)/26,57 = (0,7527, 0,5645, 0,3387)

n̂_x = 0,7527

Jawaban

n̂_x = 0,7527

15.Peluang

Jawaban: σ = 0,9206

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,3 + 4·0,05 = 2,05

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,3 + 16·0,05 = 5,05

Variansi

Var(X) = 5,05 − 2,05² = 0,8475

σ = √0,8475 = 0,9206

Jawaban

σ = 0,9206

16.Peluang

Jawaban: E(G) = −0,4 €

Hasil bersih

G: 4 (p = 0,1), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,89)

Nilai harapan

E(G) = 4·0,1 + 98·0,01 − 2·0,89 = −0,4 €

Jawaban

E(G) = −0,4 €

Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 19,13

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 237/6 = 39,5

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 19,5² + 10,5² + (−26,5)² + (−20,5)² + 14,5² + 2,5² = 1830

Simpangan baku

s = √(1830/5) = 19,13

Jawaban

s = 19,13

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,8413

Standarkan

z = −1

Tabel normal baku

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413

19.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7808

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (245 − 250)/5 = −1

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Luas di antara

P = Φ(1,55) − Φ(−1) = 0,9394 − 0,1587 = 0,7808

Jawaban

P = 0,7808

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 551,3 h

z untuk persentil

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Kembali ke x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Jawaban

x = 551,26 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics