Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (−5x³ − 4x + 6)/(3x³ + 4x + 5).

f(x) = (−5x³ − 4x + 6)/(3x³ + 4x + 5)x → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x².

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = ln(3x² + 5). Tentukan f′(−2).

f(x) = ln(3x² + 5)x = −2

f′(−2) =

4.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ − 6x² + 5. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x³ − 6x² + 5

x =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀² e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 2]

I =

6.IntegralSulit

Daerah di antara garis y = x dan parabola y = x² diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu.

y = xy = x²

V =

7.Bilangan kompleksSedang

Tuliskan z = 8∠−75° dalam bentuk kartesius a + jb dan berikan bagian imajiner b.

r = 8θ = −75°

b =

8.Bilangan kompleksSulit

Persamaan z² + 4z + 20 = 0 memiliki dua akar kompleks. Carilah modulusnya |z|.

p = 4q = 20

|z| =

9.Persamaan diferensialSedang

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 400 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 24 °C. Setelah 54 menit suhunya 98 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T₀ = 400 °CT_a = 24 °CT(54) = 98 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan masalah nilai awal y′ + 2y/x = 2x untuk x > 0, dengan y(1) = 1. Cari y(2).

y′ + 2y/x = 2xy(1) = 1

y(2) =

11.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−3 2 1; 3 −3 3; 0 −2 −4]

det A =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem −5x + 4y = 10 dan −5x − 2y = −2. Tentukan x.

−5x + 4y = 10−5x − 2y = −2

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Gaya konstan F = (−15, −20, −15) N bekerja pada sebuah benda yang bergerak lurus dari titik A(−4, −3, −1) ke titik B(−4, −2, 0). Koordinat dalam meter. Tentukan usaha W yang dilakukan gaya itu.

F = (−15, −20, −15) NA(−4, −3, −1) mB(−4, −2, 0) m

W = J

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Untuk a = (−3, 1, 5) dan b = (−6, 4, −4), tentukan komponen z (a × b)_z dari hasil kali silang a × b.

a = (−3, 1, 5)b = (−6, 4, −4)

(a × b)_z =

15.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,25, 0,35, 0,2

Var(X) =

16.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 0,5X + 4. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,35, 0,15, 0,3Y = 0,5X + 4

σ_Y =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 47, 21, 12, 59, 18, 50.

n = 6

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di bawah 163,6?

μ = 170σ = 8x = 163,6

P =

19.Distribusi normalSedang

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Berapa proporsi yang berada di antara 167,5 dan 179,75 cm? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,5x₂ = 179,75

P =

20.Distribusi normalSulit

nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 80% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 65 poinσ = 10 poin80%

x = poin

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = −1,667

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Bagi dengan pangkat tertinggi

(−5 + (−4)/x² + 6/x³)/(3 + 4/x² + 5/x³)

Biarkan x → ∞

L = −5/3 = −1,667

Jawaban

L = −1,667

Untuk derajat yang sama, limitnya adalah rasio koefisien utama.

2.Limit

Jawaban: L = 2

Penerapan pertama

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

4·e^2x/2

Substitusikan x = 0

L = 4·1/2 = 2

Jawaban

L = 2

3.Turunan

Jawaban: f′(−2) = −0,7059

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai untuk logaritma

f′(x) = 6x/(3x² + 5)

Substitusikan

f′(−2) = −12/17 = −0,7059

Jawaban

f′(−2) = −0,7059

4.Turunan

Jawaban: x = 4

Turunan

f′(x) = 3x² − 12x = 3·(x² − 4x)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 0 atau x = 4

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 12: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(0) = −12, f″(4) = 12

x = 4

Jawaban

x = 4

5.Integral

Jawaban: I = 1,264

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

Substitusikan batasnya

I = (e⁻¹ − 1)/(−0,5) = (0,3679 − 1)/(−0,5) = 1,264

Jawaban

I = 1,264

6.Integral

Jawaban: V = 0,4189

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Titik potong

1x = 1x² → x = 0, x = 1

Metode cincin (washer)

V = π∫₀¹ ((1x)² − (1x²)²) dx

Integralkan

V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0,1333 = 0,4189

Jawaban

V = 0,4189

7.Bilangan kompleks

Jawaban: b = −7,727

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Komponen

a = 8·cos(−75°) = 2,071

b = 8·sin(−75°) = −7,727

Bentuk kartesius

z = 2,071 − j7,727

b = −7,727

Jawaban

b = −7,727

8.Bilangan kompleks

Jawaban: |z| = 4,472

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Diskriminan

p² − 4q = 16 − 80 = −64 < 0

Rumus kuadrat

z = (−4 ± j√64)/2 = −2 + j4, −2 − j4

Jawaban

|z| = √((−2)² + 4²) = √20 = 4,472

Jawaban

|z| = 4,472

9.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,0301 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e^−54k = 74/376

Selesaikan untuk k

k = ln(376/74)/54 = 0,0301 min⁻¹

Jawaban

k = 0,0301 min⁻¹

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(2) = 2,125

Faktor integrasi

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Integralkan

(x²y)′ = 2x³ → x²y = 2x⁴/4 + C

Kondisi awal

1 = 2/4 + C → C = 0,5

Hitung nilainya

y(2) = (2·2⁴/4 + 0,5)/2² = 2,125

Jawaban

y(2) = 2,125

11.Matriks & determinan

Jawaban: det A = −36

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 18, M₁₂ = −12, M₁₃ = −6

Ekspansi kofaktor

det A = (−3)·18 − 2·(−12) + 1·(−6) = −36

Jawaban

det A = −36

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = −0,4

Determinan matriks koefisien

det A = (−5)·(−2) − 4·(−5) = 30

Ganti kolom x

det Aₓ = 10·(−2) − 4·(−2) = −12

x = −12/30 = −0,4

Jawaban

x = −0,4

y = 2

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: W = −35 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Perpindahan

d = B − A = (−4, −2, 0) − (−4, −3, −1) = (0, 1, 1) m

Usaha

W = F·d = (−15)·0 + (−20)·1 + (−15)·1 = −35 J

Jawaban

W = −35 J

Usaha negatif: gaya sebagian besar bekerja melawan gerakan.

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)_z = −6

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·(−4) − 5·4 = −24

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·(−6) − (−3)·(−4) = −42

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·4 − 1·(−6) = −6

Komponen yang diminta

(a × b)_z = −6

Jawaban

(a × b)_z = −6

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

15.Peluang

Jawaban: Var(X) = 1,047

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,2 = 1,55

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,2 = 3,45

Variansi

Var(X) = 3,45 − 1,55² = 1,047

Jawaban

Var(X) = 1,047

16.Peluang

Jawaban: σ_Y = 5,585

Sebaran X

μ = 25,5, Var(X) = 124,8, σ_X = 11,17

Perubahan linear

σ_Y = |0,5|·11,17 = 5,585

Jawaban

σ_Y = 5,585

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·25,5 + 4 = 16,75.

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 19,79

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 207/6 = 34,5

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 12,5² + (−13,5)² + (−22,5)² + 24,5² + (−16,5)² + 15,5² = 1958

Simpangan baku

s = √(1958/5) = 19,79

Jawaban

s = 19,79

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,2119

Standarkan

z = −0,8

Tabel normal baku

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Jawaban

P = 0,2119

19.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,5319

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (167,5 − 178)/7 = −1,5

z₂ = (179,75 − 178)/7 = 0,25

Luas di antara

P = Φ(0,25) − Φ(−1,5) = 0,5987 − 0,06681 = 0,5319

Jawaban

P = 0,5319

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 56,6 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,2

z dari tabel

z ≈ −0,84

Kembali ke satuan semula

x = 65 − 0,84·10 = 56,6 poin

Jawaban

x = 56,6 poin

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics